Ојлеров идентитет је у математици назив за формулу:
која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број је Ојлеров број (база природног логаритма), имагинара јединица комплексних бројева, а угао.
Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера -{„Introductio“}- објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.
Иако је првобитна претпоставка била , једначина важи и за .
За угао добија се идентитет
или мало другачији облик Ојлеровог идентитета
се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве , , , 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.
Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента прво дефинисала експоненцијална функција:
а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.
Прва метода Посматрамо функцију:
Именилац никада није нула, јер важи:
Ојлеров идентитет тврди да је за све вредности .
Прво доказујемо да је функција константна, односно да је њен извод за све :
Знамо да је извод од :
Следи:
значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то :
Добили смо дакле жељени резултат.
Друга метода Друга метода се користи редовима за , и . Знамо да ове три функције можемо написати као:
Из тога следи да можемо поделити:
За добијамо , што је наш тражени резултат.
Математичка лепота
Ојлеров идентитет се често наводи као пример дубоке математичке лепоте. Три основне аритметичке операције се дешавају тачно једном: сабирање, множење и степеновање. Идентитет такође повезује пет основних математичких константи: Број 0, адитивни идентитет. Број 1, мултипликативни идентитет. Број ( = 3.1415...), основна константа круга. Број ( = 2.718...), познат и као Ојлеров број, који се широко јавља у математичкој анализи. Број , имагинарна јединица комплексних бројева.
Даље, једначина је дата у облику скупа израза једнаког нули, што је уобичајена пракса у неколико области математике.
Професор математике на Универзитету Стенфорд Кит Девлин је рекао: „попут Шекспировог сонета који хвата саму суштину љубави, или слике која открива лепоту људског облика који је много више од површности, Ојлерова једначина сеже у саму дубине постојања“.. Пол Нахин, професор емеритус на Универзитету у Њу Хемпширу, који је написао књигу посвећену Ојлеровој формули и њеној примени у Фуријеовој анализи, описује Ојлеров идентитет као устројство „изузетне лепоте“. xxxii.
Писац математике Констанс Рид изнела је мишљење да је Ојлеров идентитет „најпознатија формула у целој математици“.Reid, chapter e. Бенџамин Пирс, амерички филозоф, математичар и професор на Универзитету Харвард из 19. века, након што је доказао Ојлеров идентитет током предавања, изјавио је да је идентитет „апсолутно парадоксалан; не можемо да га разумемо, и не знамо шта значи, али ми смо то доказали и стога знамо да то мора бити истина“..
Анкета читалаца коју је спровео часопис The Mathematical Intelligencer 1990. године назвала је Ојлеров идентитет „најлепшом теоремом у математици“. У другој анкети читалаца коју је спровео часопис Physics World 2004. године, Ојлеров идентитет је повезан са Максвеловим једначинама (електромагнетизма) као „највећа једначина икада“.
Најмање три књиге популарне математике су објављене о Ојлеровом идентитету: Невероватна формула др Ојлера: Лечи многе математичке болести, Пол Нахин (2011) Најелегантнија једначина: Ојлерова формула и лепота математике, Дејвид Стип (2017) Ојлерова пионирска једначина: Најлепша теорема у математици, Робин Вилсон (2018).
Напомене
Референце
Литература
, Springer.
Crease, Robert P. (10 May 2004), [registration required] , Mathematical Association of America.
, Simon & Schuster
. Penguin Books. . Mathematical Association of Americа . Mathematical Association of America.
Спољашње везе
-{Complete derivation of Euler's identity}- -{Intuitive understanding of Euler's formula}- -{Weisstein, Eric W. "Euler Formula." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.}-
Категорија:Комплексни бројеви Категорија:Експоненцијали Категорија:Математички идентитети Категорија:Леонард Ојлер