thumb|360px|right|Апроксимација функције f(x) = 1/(1 + x2) њеним Тејлоровим полиномом Pk реда k = 1, ..., 16 centered at x = 0 (црвена боја) и x = 1 (зелена боја). Апроксимације нису задовољавајуће ван интервала (-1,1) и (1-√2,1+√2). Тејлорова формула, која је добила име по математичару Бруку Тејлору, користи се за приближно израчунавање функција у околини неке одређене тачке уз помоћ Тејлорових полинома. __САДРЖАЈ__ Тејлоров полином
Тејлоров полином за неку функцију и дату тачку је дефинисан на следећи начин:
Пошто се при таквој апроксимацији функције полиномом прави некаква грешка, део за који се разликује функција и полином називамо остатком полинома и он износи:
Тако се свака функција може представити као збир одговарајућег Тејлоровог полинома за тачку коју смо ми сами изабрали и грешке коју смо направили том апроксимацијом:
Доказ Доказ да се свака функција може представити као збир Тејлоровог полинома и његовог остатка можемо спровести индукцијом.
База индукције:
Да Тејлорова формула важи за можемо доказати путем парцијалне интеграције:
Корак индукције: Узмимо онда да за неко важи:
Доказ:
Користимо :
Парцијалном интеграцијом:
, што смо и хтели да докажемо.
Тејлорова формула у Лагранжовом облику Тејлорова формула у Лагранжовом облику се добија када се на израз Тејлорове формуле
примени Лагранжова теорема за средњу вредност:
, где је
Пример 300px|thumb|Црвеном бојом је представљена функција синус, а плавом бојом Тејлоров полином првог степена за синус, што и није нарочито лоша апроксимација ако, као у примеру, посматрамо само сегмент од -0.5 до 0.5. Израчунавање ниједне тригонометријске функције у општем случају није тривијално. Међутим, за резултате са одређеном тачношћу, Тејлорова формула даје веома добре резултате који се могу и јако брзо израчунати.
Тако, на пример, можемо израчунати приближну вредност синуса у опсегу -0.5 до 0.5. Једна од најефикаснијих могућности за израчунавање је примена Тејлоровог полинома на тачку 0.
За синус знамо да важи:
Тејлоров полином првог степена стога гласи:
У посматраном интервалу, резултати апроксимације су прилично добри, јер је грешка: највећа код тачака -0.5 и 0.5 и она износи: , што је са практичне тачке гледишта сасвим прихватљиво.
300px|thumb|Граф за . Тако можемо и практично да опазимо да је наша приближна вредност све гора апроксимација што се даље удаљавамо од тачке .
За боље апроксимације и мање грешке, потребно је само функцију развити до виших степена и тако се све више и више приближавати траженој функцији.
Приказане су апроксимације функције за развијање до све виших и виших редова (до првог реда - црвеном бојом, до трећег реда - зеленом бојом, ...): Датотека:Taylorpolynom sin.png
Види још Маклоренова формула Тејлоров ред Тејлоров полином
Литература
Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.
Категорија:Математичка анализа Категорија:Математичке теореме Категорија:Апроксимације