Полигонални број

У математици, полигонални број је број представљен у облику тачака или каменчића распоређених у облику правилног полигона. Тачке се сматрају алфама (јединицама). Ово је једна врста 2-димензионалних фигуралних бројева.

Дефиниција и примери Број 10, на пример, може бити представљен као троугао (види троугаони број):

| align="center" | 16x16px|*

16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|* |} Али 10 не може бити квадрат. Број 9, са друге стране, може (види квадратни број):

| align="center" | 16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|* |} Неки бројеви, као 36, могу бити представљени и као квадрат и као троугао (види квадратни троугаони бројеви):

|- align="center" valign="bottom" |16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|* | |16x16px|*

16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*

16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|*16x16px|* |} По конвенцији, 1 је први полигонални број за било који број страна. Правило за проширење полигона на следећу величину је да се продуже две суседне стране у једном тренутку и да затим додајете потребне додатне стране између тих тачака. У наредним дијаграмима, сваки додатни слој је приказан као црвени.

Троугаони бројеви без|500x500px

Квадратни бројеви без|500x500px Полигонални бројеви са већим бројем страна, као што су пентагони и хексагони, могу такође бити конструисани према овом правилу, иако тачке неће формирати перфектно правилну решетку као горе.

Пентагонални бројеви без|500x500px

Хексагонални бројеви без|500x500px

Формула Ако је ѕ број страна полигона, формула за nth s-гонални број P(s,n) је

или

nth s-гонални број је такође повезан са троугаоним бројем Tn на следећи начин:

Онда:

За дати ѕ-гонални број P(s,n) = x, можемо наћи n помоћу

Сваки хексагонални број је и троугаони број Примена горенаведене формуле:

за случај од 6 страна добијамо:

али како је:

следи да је:

Ово показује да је хексагонални број, једнак троугаоном броју, . Можемо наћи сваки хексагонални број једноставним узимањем непарних троугаоних бројева: 1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Табела вредности Првих 6 вредности у колони Збир реципрочних вредности, за троугаони до октагоналног броја, произлази из објављеног решења за општи проблем, који такође даје општу формулу за било који број страна, у темину дигама функције. s Име Формула н = 1 н = 2 н = 3 н = 4 н = 5 н = 6 н = 7 н = 8 н = 9 н = 10 Збир реципрочних бројева ОЕИС број 3 Троугаони ½(n²+n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 A000217 4Квадрат n² = ½(2n² - 0n) 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 A000290 5Пентагонални ½(3n² - n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 A000326 6Хексагонални ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 A000384 7Хептагонални ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 A000566 8Октагонални ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 A000567 9Нонагонални

(енегонални) ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 A001106 10Декагонални ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 A001107 11 Хендекагонални ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 A051682 12Додекагонални ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 A051624 13 Тридекагонални ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 A051865 14 Тетрадекагонални ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 A051866 15 Пентадекагонални ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 A051867 16 Хексадекагонални ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 A051868 17Хептадекагонални ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 A051869 18 Октадекагонални ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 A051870 19 Енедекагонални ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 A051871 20 Икосагонални ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 A051872 21 Икосигенагонални ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 A051873 22 Икосидигонални ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 A051874 23 Икоситригонални ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 A051875 24 Икоситетрагонални ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 A051876 25 Икосипентагонални ½(23n² - 21n) 1 25 72 142 235 351 490 652 837 1045 A255184 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 10000 Мириагонални ½(9998n² - 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920 A167149 Онлајн Енциклопедија Целобројних Редова избегава термине користећи се грчким префиксима (нпр. „октагонални) уместо термина користећи бројеве (нпр. „8-гонални).

Својство ове табеле се може изразити наредним идентитетом (види A086270):

са

Комбинације Неки бројеви, као што је 36 који су и квадратни и троугаони, спадају у два полигонална сета. Проблем утврђивања, с обзиром на два таква сета, сви бројеви који припадају и квадратним и троугаоним могу се решити смањењем проблема Пеловом једначином. Најједноставнији пример овога је ред квадратних троугаоних бројева.

Следећа табела сумира сет с-гоналних т-гоналних бројева за мале вредности с и т. с т Ред ОЕИС број 4 3 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ... A001110 5 3 1, 210, 40755, 7906276, … A014979 5 4 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ... A036353 6 3 Сви хексагонални бројеви су и троугаони. A000384 6 4 Непарни троугаони квадратни бројеви. A046177 6 5 1, 40755, 1533776805, … A046180 7 3 1, 55, 121771, 5720653, … A046194 7 4 1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, 729252434211108535809, 53306479301521270428241, 20744638830126197732344369, 1516379800105728357531817761, 110843467413344235941816109721, 43135613687078894324987720634481, 3153102533906718276539864534846601, … A036354 7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … A048900 7 6 1, 121771, 12625478965, … A048903 8 3 1, 21, 11781, 203841, … A046183 8 4 1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, … A036428 8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … A046189 8 6 1, 11781, 113123361, … A046192 8 7 1, 297045, 69010153345, … A048906 9 3 1, 325, 82621, 20985481, … A048909 9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, 4835857349623374369, 571178264921393749929, 4342594514813297471521, 512917445842648529510881, 3899645038444991506051689, 460599295188433458107021409, 3501876901929087559136945401, 413617654161767402731575714601, … A036411 9 5 1, 651, 180868051, … A048915 9 6 1, 325, 5330229625, … A048918 9 7 1, 26884, 542041975, … A048921 9 8 1, 631125, 286703855361, … A048924 103 1, 10, 1540, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, ... 104 1 и ниједан други. 11 4 1, 196, 29241, 1755625, 261468900, 38941102225, 2337990844401, 348201795147556, 51858411008887561, 3113535139359330841, ... 12 4 1, 64, 3025, 142129, 6677056, 313679521, 14736260449, 692290561600, 32522920134769, 1527884955772561, 71778070001175616, 3372041405099481409, 158414167969674450625, 7442093853169599697984, 349619996931001511354641, 16424697761903901433970161, 771611174812552365885242944, 36249300518428057295172448225, 1702945513191306140507219823649, 80002189819472960546544159263296, 3758399976002037839547068265551281, 176564796682276305498165664321646929, 8294787044090984320574239154851854400, 389678426275593986761491074613715509889, 18306591247908826393469506267689777110401, 860020110225439246506305303506805808678976, 40402638589347735759402879758552183230801489, 1898063993589118141445429043348445806038991025, 89168605060099204912175762157618400700601776704, ... 13 4 1, 36, 35721, 34999056, 896703025, 34291262041, 878568782400, 860801272542225, ... 14 4 1, 441, 14161, 4239481, 135978921, 40707501121, 1305669590281, 390873421529361, 12537039269904241, 3753166552817428201, ... 15 4 1, 3025, 5997601, 165148201, ...164 1, 16, 400, 4225, 101761, ...184 1, 100, 1936, 116281, 2235025, 134189056, 2579217796, 154854055225, 2976415102441, 178701445541476, 3434780449000000, ...224 1, 729, 284089, 3900625, 15175959521, 590725976569, 8110813506601, 3156387347610225, 1228333148092290241, 16865317394711073289, 6563271907899976822281, 2554149271482890096235025, 35069100108493095964960369, ...2841, 81, 3136, 30625, ...304 1, 203401, 1819801, 164024190001, 1467492382801, 132269434866199801, 1183388792474889001, 106662336814809228952801, 954287089027867949018401, 86012721732003522411131649001, 769539017165067381031862931001, 69360830830024442142566574789968401, 620557802518990379109828463337266801, 55932712702907357470917967521368968071001, 500419053066149340677758825111066761145801, ...324 1, 1089, 9025, 4190209, 34680321, 16098788161, 133241790529, 61851539930625, 511914924538369, 237633600314679361, 1966777006834629441, 912988230557458180609, 7556356748343721780225, 3507700544168154015226689, 29031520660359572245001281, 13476584577705817169042764801, 111539094820744728221573147649, 51777034439845205395308287145025, 428533173269780585467711788272449, 198927352841300701422957270168427521, 1646424340163402188622220468969607681, 764278837839242855021796436678811396929, 6325561886374617938905985574069444444225, 2936359096051018207693040486762723218579969, ...4041, 576, 123201, ...444 1, 256, 1521, 136161, 802816, 71757841, 423083761, 37816247296, 222964340481, ...504 1, 5776, 30276, 55487601, 290736601, 532791965476, 2791652838976, 5115868397039401, 26805450269137401, 49122567815580389376, 257385930692604511876, 471674891049334501775401, 2471419679704938253922401, 4529022254733142070467037476, 23730571507140886421558408976, 43487671218272739111289992095601, 227860945140147111714865589091601, ...644 1, 64, 625, 48400, 450241, ... 664 1, 1223236, 5107600, 1629005505625, 6801867425521, 2169369437921667136, 9058142076710164516, 2888979651650786027844601, ...684 1, 400, 41616, 4289041, 17514225, ...964 1, 14400, 46656, 132733441, 429940225, ...12841, 148225, 408321, 9563079681, 26342913025, 616952522883841, 1699486690978561, 39802075051765530625, 109640684355448463361, 2567791069272648920349441, 7073359108807915474785025, 165658473003253597395658798081, 456330689435993174584833131521, 10687290724764111513110882779540225, 29439718091200304556358009172652801, 689479873651773417153581894243599769601, 1899273972479365758712887429179690164225, ...1324 1, 784, 262144, 10597261249, 28731945025, ...14041, 1002001, 2637376, 1023640086001, ...1564 1, 18496, 288456256, ... У неким случајевима, као када је с=10 и т=4, не постоје други бројеви у оба сета осим 1.

Проблем налажења бројева који припадају трима полигоналним сетовима је тежи. Компјутерско претраживање за пентагоналне квадратне троугаоне бројеве је избацило само тривијалну вредност 1, путем доказа да не постоје други бројеви који су се појавили у резултатима претраживања.

Број 1225 је хекатоникоситетрагоналан (с=124), хексакотагоналан (с=60), икосиенегоналан (с=29), хексагоналан, квадратни и троугаони.

Види још Полихедрални број Теорема фермат полигоналног броја

Референце

Литература

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [].

Полигонални број

Źródło i licencja