мини|alt=Дијаграм симбола аритметичких операција|Поље је алгебарска структура која је затворена у односу на четири уобичајене аритметичке операције.
У математици, поље је скуп на коме су дефинисани сабирање, одузимање, множење и дељење и понашају се као одговарајуће операције на рационалним бројевима. Поља су основне алгебарске структуре које се широко користе у алгебри, теорији бројева и многим другим областима математике.
Најпознатија поља су поље рационалних бројева, поље реалних бројева и поље комплексних бројева. Многа друга поља, као што су поља рационалних функција, поља алгебарских функција, поља алгебарских бројева, коначна поља и p-адична поља, често се користе и проучавају у математици, посебно у теорији бројева и алгебарској геометрији.
Теорија поља је кључни састојак у доказима да се трисекција угла и квадратура круга не могу извести само помоћу шестара и лењира. Теорија Галоа, посвећена разумевању симетрија проширења поља, пружа елегантан доказ Абел-Руфинијеве теореме да се опште једначине петог степена не могу решити у радикалима.
Поља служе као темељни појмови у неколико математичких области. Ово укључује различите гране математичке анализе, које су засноване на пољима са додатном структуром. Основне теореме у анализи зависе од структурних својстава поља реалних бројева. Што је најважније за алгебарске сврхе, било које поље се може користити као систем скалара за векторски простор, што је стандардни општи контекст за линеарну алгебру. Поља бројева, сродници поља рационалних бројева, детаљно се проучавају у теорији бројева. Поља функција могу помоћи у описивању својстава геометријских објеката. Коначна поља се користе за кодове за корекцију грешака и криптографију.
Дефиниција Неформално, поље је скуп са операцијом сабирања и операцијом множења које се понашају као код рационалних и реалних бројева. Захтеви укључују постојање адитивног инверза за сваки елемент и реципрочне вредности за сваки ненулти елемент . Ово омогућава дефинисање инверзних операција, одузимања и дељења , као и . Често се производ представља напуштањем знака за множење, као .
Класична дефиниција Формално, поље је скуп заједно са две бинарне операције на , назване сабирање и множење, које задовољавају аксиоме дате у наставку. Бинарна операција на је пресликавање ; она сваком уређеном пару елемената из додељује јединствено одређен елемент из . Резултат сабирања и назива се збир од и , и означава се са . Резултат множења и назива се производ од и , и означава се са . Ове операције морају да задовоље следећа својства, која се називају аксиоме поља.
Ове аксиоме морају да важе за све елементе , , поља : Асоцијативност сабирања и множења: и . Комутативност сабирања и множења: и . Адитивни и мултипликативни идентитет: постоје различита елемента и у такви да је и . Адитивни инверзи: за сваки у , постоји елемент у , означен са , који се назива адитивни инверз од , такав да је . Мултипликативни инверзи: за сваки у , постоји елемент у , означен са или , који се назива мултипликативни инверз од , такав да је . Дистрибутивност множења према сабирању: .
Еквивалентна, али сажетија дефиниција је: поље је скуп са две комутативне операције, назване сабирање и множење, тако да чини групу у односу на сабирање, са адитивним идентитетом означеним са ; ненулти елементи чине групу у односу на множење; и множење је дистрибутивно у односу на сабирање.
Још сажетије: поље је комутативни прстен у коме је и сви ненулти елементи су инвертибилни у односу на множење.
Алтернативне дефиниције Поља се такође могу дефинисати на различите, али еквивалентне начине. Алтернативно, поље се може дефинисати помоћу четири бинарне операције (сабирање, одузимање, множење и дељење) и њихових захтеваних својстава. Дељење нулом је, по дефиницији, искључено. Да би се избегли егзистенцијални квантификатори, поља се могу дефинисати помоћу две бинарне операције (сабирање и множење), две унарне операције (које дају адитивни и мултипликативни инверз редом) и две нуларне операције (константе и ). Ове операције су затим подложне горе наведеним условима. Избегавање егзистенцијалних квантификатора је важно у конструктивној математици и рачунарству.. Види такође Хејтингово поље. Еквивалентно се поље може дефинисати истим двема бинарним операцијама, једном унарном операцијом (мултипликативни инверз) и двема (не нужно различитим) константама и , пошто је и .А приори двострука употреба симбола „” за означавање једног дела константе и за адитивне инверзе оправдана је овим последњим условом.
Примери
Рационални бројеви
Рационални бројеви су широко коришћени дуго пре развоја поља. То су бројеви који се могу записати као разломци , где су и цели бројеви, и . Адитивни инверз таквог разломка је , а мултипликативни инверз (под условом да је ) је , што се може видети на следећи начин:
Апстрактно захтеване аксиоме поља своде се на стандардна својства рационалних бројева. На пример, закон дистрибутивности се може доказати на следећи начин:
Реални и комплексни бројеви мини|255px|Множење комплексних бројева се може визуелизовати геометријски помоћу ротација и скалирања.
Реални бројеви , са уобичајеним операцијама сабирања и множења, такође чине поље. Комплексни бројеви се састоје од израза где су реални, где је имагинарна јединица, тј. (нереални) број који задовољава . Сабирање и множење реалних бројева су дефинисани на такав начин да изрази овог типа задовољавају све аксиоме поља и тако важе за . На пример, дистрибутивни закон намеће
Очигледно је да је ово поново израз горе наведеног типа, те стога комплексни бројеви чине поље. Комплексни бројеви се могу геометријски представити као тачке у равни, са Декартовим координатама датим преко реалних бројева њиховог описујућег израза, или као стрелице од координатног почетка до ових тачака, одређене њиховом дужином и углом који заклапају са неким изабраним правцем. Сабирање тада одговара комбиновању стрелица у интуитивни паралелограм (сабирање Декартових координата), а множење је – мање интуитивно – комбиновање ротације и скалирања стрелица (сабирање углова и множење дужина). Поља реалних и комплексних бројева се користе широм математике, физике, инжењерства, статистике и многих других научних дисциплина.
Конструктибилни бројеви мини|255px|Теорема о геометријској средини тврди да је . Одабир омогућава конструкцију квадратног корена датог конструктибилног броја .
У антици, неколико геометријских проблема односило се на (не)изводљивост конструисања одређених бројева помоћу шестара и лењира. На пример, Грцима је било непознато да је, генерално, немогуће извршити трисекцију датог угла на овај начин. Ови проблеми се могу решити коришћењем поља конструктибилних бројева. Реални конструктибилни бројеви су, по дефиницији, дужине сегмената правих који се могу конструисати од тачака 0 и 1 у коначно много корака користећи само шестар и лењир. Ови бројеви, опремљени операцијама поља реалних бројева, ограниченим на конструктибилне бројеве, чине поље које стриктно садржи поље рационалних бројева. Илустрација приказује конструкцију квадратних корена конструктибилних бројева, који нису нужно садржани унутар . Користећи ознаке на илустрацији, конструишите сегменте , и полукруг над (са центром у средишту ), који пресеца нормалу кроз у тачки , на удаљености од тачно од када има дужину један.
Нису сви реални бројеви конструктибилни. Може се показати да није конструктибилан број, што имплицира да је немогуће конструисати шестаром и лењиром дужину странице коцке чија је запремина 2, што је још један проблем који су поставили антички Грци.
Поље са четири елемента
+ Сабирање Множење + ⋅
Поред добро познатих бројевних система као што су рационални бројеви, постоје и други, мање очигледни примери поља. Следећи пример је поље које се састоји од четири елемента означених са , , и . Нотација је изабрана тако да игра улогу адитивног неутралног елемента (означеног са 0 у аксиомама изнад), а је мултипликативни идентитет (означен са у аксиомама изнад). Аксиоме поља могу се проверити коришћењем мало више теорије поља, или директним израчунавањем. На пример, , што је једнако , као што захтева дистрибутивност.
Ово поље се назива коначно поље или Галоаово поље са четири елемента, и означава се са или . Подскуп који се састоји од и (означен црвеном бојом у табелама десно) такође је поље, познато као бинарно поље или .
Основна својства У овом одељку, означава произвољно поље, а и су произвољни елементи из .
Последице дефиниције Важи да је и .
Ако је тада или мора бити , јер ако је , тада . Ово значи да је свако поље интегрални домен.
Поред тога, следећа својства важе за било које елементе и :
ако је
Адитивне и мултипликативне групе поља Аксиоме поља имплицирају да је оно Абелова група у односу на сабирање. Ова група се назива адитивна група поља и понекад се означава са када би једноставна ознака могла да унесе забуну.
Слично томе, ненулти елементи из чине Абелову групу у односу на множење, која се назива мултипликативна група, и означава са или само , или .
Поље се стога може дефинисати као скуп опремљен двема операцијама које се означавају као сабирање и множење тако да је Абелова група у односу на сабирање, је Абелова група у односу на множење (где је 0 идентитетски елемент сабирања), а множење је дистрибутивно у односу на сабирање.Еквивалентно, поље је алгебарска структура типа , тако да није дефинисано, и су Абелове групе, и је дистрибутивно над . Неке основне тврдње о пољима се стога могу добити применом општих чињеница о групама. На пример, адитивни и мултипликативни инверзи и су јединствено одређени елементом .
Захтев да је намеће се по конвенцији како би се искључио тривијални прстен, који се састоји од само једног елемента; заиста, ненулти елементи тривијалног прстена (њих нема) не чине групу, пошто група мора имати бар један елемент.Постоје и други разлози за ову конвенцију, који су углавном више техничке природе.
Свака коначна подгрупа мултипликативне групе поља је циклична група (види ).
Карактеристика Поред множења два елемента из , могуће је дефинисати производ произвољног елемента из позитивним целим бројем као -тоструки збир (што је елемент из .)
Ако не постоји позитиван цео број такав да је , тада се каже да има карактеристику . На пример, поље рационалних бројева има карактеристику 0 јер ниједан позитиван цео број није нула. У супротном, ако постоји позитиван цео број који задовољава ову једначину, може се показати да најмањи такав позитиван цео број мора бити прост број. Он се обично означава са и тада се каже да поље има карактеристику . На пример, поље има карактеристику јер је (у нотацији горе наведене табеле сабирања) .
Ако има карактеристику , тада је за сваки из . Ово имплицира да је , пошто су сви остали биномни коефицијенти који се појављују у биномној формули дељиви са . Овде је ( фактора) -ти степен, тј. -тоструки производ елемента . Стога је Фробенијусово пресликавање
компатибилно са сабирањем у (а такође и са множењем), те је стога хомоморфизам поља. Постојање овог хомоморфизма чини поља карактеристике прилично другачијим од поља карактеристике .
Потпоља и проста поља Потпоље поља је подскуп од који је поље у односу на операције поља на . Еквивалентно, је подскуп од који садржи , и затворен је у односу на сабирање, множење, адитивни инверз и мултипликативни инверз ненултог елемента. Ово значи да је , да су за све и и у , и да су за све из , и и у .
Хомоморфизми поља су пресликавања између два поља таква да је , , и , где су и произвољни елементи из . Сви хомоморфизми поља су инјективни. Ако је такође сурјективан, он се назива изоморфизам (или се каже да су поља и изоморфна).
Поље се назива просто поље ако нема правих (тј. строго мањих) потпоља. Свако поље садржи просто поље. Ако је карактеристика поља једнака (прост број), просто поље је изоморфно коначном пољу уведеном испод. У супротном, просто поље је изоморфно са .
Коначна поља