Лапласов оператор, у математици, је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици, електростатици, квантној механици, обради снимака, итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу.
Имајући у виду појмове дивергенције и градијента, за дату скаларну функцију , биће: ,
што се може написати као: .
Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију , представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ: .
Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:
Координатни изрази У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:
У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :
У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:
У тродимензионалном сферном координатном систему је :
У Еуклидском простору Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као .
Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:
где су Ламеови коефицијенти. У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором Лапласијан је дан са:
а метрика простора дефинисана је са: .
Својства Лапласов оператор је линеаран:
Такође важи :
Уопштења Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.
Категорија:Анализа више променљивих Категорија:Диференцијална геометрија Категорија:Математичка физика Категорија:Диференцијални оператори Категорија:Калкулус више промјенљивих Категорија:Фуријеова анализа