thumb|250px|Grafikon funkcije, nacrtan u crnom bojom, i tangenta te funkciju, nacrtana crvenom bojom. Nagib tangentne linije jednak je derivatu funkcije na označenoj tački.
U matematici, diferencijalni račun je podpolje računa koje se bavi proučavanjem stopa kojima se veličine menjaju. To je jedan od dva tradicionalna dela računa, pri čemu je drugi integralni račun, proučavanje područja ispod krive.
Primarni predmeti proučavanja u diferencijalnom računu su derivacija funkcije, srodni pojmovi kao što su diferencijali i njihove primene. Derivat funkcije pri izabranoj ulaznoj vrednosti opisuje brzinu promene funkcije u blizini te ulazne vrednosti. Proces pronalaženja derivata se naziva diferencijacija. Geometrijski, derivat u tački je nagib tangentne linije na grafikonu funkcije u toj tački, pod uslovom da derivat postoji i da je definisan u toj tački. Za funkciju realnih vrednosti jedne realne promenljive, derivat funkcije u tački generalno određuje najbolju linearnu aproksimaciju funkcije u toj tački. Diferencijalni račun i integralni račun su povezani fundamentalnim teoremom računa, koji navodi da je diferencijacija obrnuti proces integracije.
Diferencijacija nalazi primene u skoro svim kvantitativnim disciplinama. Na primer, u fizici, derivat pomeranja pokretnog tela u odnosu na vreme je brzina tela, a derivat brzine u odnosu na vreme je ubrzanje. Derivat momenta tela u odnosu na vreme jednak je sili primenjenoj na telo; preraspodela izraza ovog derivata dovodi do poznate jednačine , povezane sa Njutnovim drugim zakonom kretanja. Brzina hemijske reakcije je derivat. U operacionim istraživanjima, derivati određuju najefikasnije načine za transport materijala i dizajniranje fabrika.
Derivati se često koriste za pronalaženje maksimuma i minimuma funkcije. Jednačine koje uključuju derivate nazivaju se diferencijalne jednačine i fundamentalne su za opisivanje prirodnih fenomena. Derivati i njihove generalizacije pojavljuju se u mnogim oblastima matematike, kao što su kompleksna analiza, funkcionalna analiza, diferencijalna geometrija, teorija mera i apstraktna algebra.
Izvod
thumb|250px|Izvod raznih tačaka diferencijabilne funkcije
Pretpostavimo da su i realni brojevi i da je funkcija od , to jest, za svaku vrednost postoji odgovarajuća vrijednost . Ovaj odnos se može zapisati kao . Ako je jednačina za pravu liniju (zvana linearna jednačina), onda postoje dva realna broja i takva da je . U ovoj „formi nagiba i preseka”, izraz se naziva nagib i može se odrediti iz formule:
gde je simbol (veliko grčko slovo delta) skraćenica za „promena u”. Odatle sledi da je
Generalna funkcija nije linija, tako da nema nagib. Geometrijski, izvod od u tački je nagib tangentne linije funkcije u tački (pogledajte sliku). To se često označava sa u Lagranžovoj notaciji ili u Lajbnicovoj notaciji. Kako je izvod nagib linearne aproksimacije od u tački , izvod (zajedno sa vrednošću u ) određuje najbolju linearnu aproksimaciju, ili linearizaciju, od u blizini tačke
Ako svaka tačka u domenu funkcije ima izvod, onda postoji funkcija koja šalje svaku tačku u derivat od u . Na primer, ako je , onda je funkcija izvoda
Blisko srodna notacije je diferencijal funkcije. Kad su i realne promenljive, derivat od je nagib tangentne linije na grafikonu od . Budući da su izvor i cilj funkcije jednodimenzionalni, derivat od je realni broj. Ako su i vektori, tada najbolja linearna aproksimacija grafu zavisi od toga kako se menja u više smerova odjednom. Uzimajući najbolju linearnu aproksimaciju u jednom pravcu, određuje se parcijalni derivat, koji se obično označava . Linearizacija u svim pravcima odjednom se naziva totalni derivat.
Reference
Literatura
. Brooks Cole Cengage Learning.
. Addison-Wesley. . Courant, Richard. . Introduction to calculus and analysis 1. Edmund Landau. Differential and Integral Calculus, American Mathematical Society. Robert A. Adams. . Calculus: A complete course. Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed. . Mathematical Association of America No. 7. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus", Princeton University Press, 2004. Cliff Pickover. . Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. Michael Spivak. (September 1994). . Calculus. Publish or Perish publishing. Tom M. Apostol. . Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. Tom M. Apostol. . Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. Silvanus P. Thompson and Martin Gardner. . Calculus Made Easy. . The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252. Thomas/Finney. . Calculus and Analytic geometry 9th, Addison Wesley. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Light and Matter, Fullerton., Приступљено 6. 5. 2007. from http://www.lightandmatter.com/calc/calc.pdf University of Minnesota. from , Приступљено 6. 5. 2007. from Understanding Calculus, URL http://www.understandingcalculus.com/ (HTML only) Keisler, H. J. .
University of Iowa., Приступљено 6. 5. 2007. from https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm (HTML only) Massachusetts Institute of Technology. Приступљено 6. 5. 2007 from http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm (HTML only).
. Republication of a 1939 book (2nd printing in 1949) with a different title.
, Chapters 5 and 6, W. W. Norton & Company, 2000. Hoffman, Ruth Irene, "On the development and use of the concepts of the infinitesimal calculus before Newton and Leibniz", Thesis (M.A.), University of Colorado, 1937
Spoljašnje veze
Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites at Temple University – contains resources ranging from pre-calculus and associated algebra Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis Online Integrator (WebMathematica) from Wolfram Research from ERICDigests.org from the Massachusetts Institute of Technology Infinitesimal Calculus – an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, ed. Michiel Hazewinkel.
Calculus Problems and Solutions by D.A. Kouba