мини|Na telo koje se kreće po kružnici deluje centripetalna sila koja je usmerena duž poluprečnika kruga tački na kružnici u kojoj se telo u tom trenutku nalazi ka centru kružnice.
Centripetalna sila (od latinskih reči -{centrum}-, „centar” i -{petere}-, „tražiti” Extract of page 291) je sila koja uzrokuje da telo sledi zakrivljenu putanju. Njen pravac je uvek ortogonalan na vektor brzine tela u datoj tački i usmeren je prema centru zakrivljenosti putanje.
Najjednostavniji slučaj delovanja centripetalne sile je kružno kretanje u kojem se telo kreće konstantnom brzinom po kružnici. Centripetalna sila je u ovom slučaju usmerena duž poluprečnika kruga od tačke u kojoj se telo u datom trenutku nalazi ka centru kruga.
Matematički opis kretanja tela po kružnoj putanji izveo je holandski fizičar Kristijan Hajgens 1659. godine. Isak Njutn je centripetalnu silu opisao kao „silu kojom se tela povlače ili prisiljavaju, ili na bilo koji način teže ka tački kao centru”. U Njutnovoj mehanici, sila gravitacija je centripetalna sila koja je odgovorna za orbitalna kretanja planeta, satelita, itd. мини|Snop elektrona zakrivljen magnetnim poljem koje u ovom slučaju ima ulogu centripetalne sile. Elektroni se nalaze u posudi ispunjenoj gasom i u sudaru sa molekulima gasa emituje se svetlost ljubičaste boje, tako da ona ocrtava trajektoriju kretanja elektrona. Pojam centrifugalne sile se objašnjava preko centripetalne sile. Centripetalna sila je realna sila koja deluje na telo pri kružnom kretanju gledano iz stacionarnog inercijalnog sistema referencije. U pokretnom neinercijalnom sistemu referencije vezanom za telo koje rotira, ne vidi se centripetalna sila, ali da bi se objasnilo kretanje tela uvodi se centrifugalna sila koja ima isti intenzitet i pravac kao centripetalna sila, ali je suprotnog smera u odnosu na centripetalnu silu i usmerena je od centra zakrivljene putanje ka telu.
Formula
Centripetalna sila koja deluje na objekt mase -{m}- koji se kreće po kružnici je zadata Drugim Njutnovim zakonom:
gde je centripetalno ubrzanje koje se za telo koje se kreće tangencijalnom brzinom -{v}- duž puta radijusa zakrivljenosti -{r}- može izračunati kao:
tako da za centripetalnu silu važi:
gde je razlika između vektora brzine. Pošto vektori brzine u gornjem dijagramu imaju konstantnu veličinu i pošto je svaki okomit na svoj odgovarajući vektor položaja, jednostavno oduzimanje vektora podrazumeva dva slična jednakokraka trougla sa kongruentnim uglovima – jedan koji sadrži osnovu od i dužinu noge od , a drugi osnovu od (razlika u vektoru položaja) i dužina noge od :
Stoga, može se zameniti sa :
pravac sile je ka centru kružnice u kojoj se objekat kreće, odnosno oskulirajućim krugom (krug koji najbolje odgovara lokalnoj putu, ako putanja nije kružna). Brzina u formuli je na kvadrat, tako da je za dvostruku brzinu potrebna četiri puta veća sila. Inverzni odnos sa radijusom krivine pokazuje da je za pola radijalnog rasta potrebna dvostruko veća sila.
Centripetalna sila izražena preko ugaonih veličina Centripetalna sila se ponekad izražava preko ugaone brzine objekta ω koji rotira oko centra kruga. Ugaona brzina je vezana za tangencijalnu brzinu formulom
tako da je centripetalna sila preko ugaone brzine izražena kao:
Centripetalna sila se za periodična kretanja može izraziti i preko perioda -{T}- , odnosno vremena potrebnom da telo napravi pun obrt oko centra kruga. Kako je veza između ugaone brzine i perioda , jednačina za centripetalnu silu postaje:
Centripetalna sila kod relativističkog kretanja
U akceleratorima čestica, brzina čestica može biti veoma visoka (uporediva sa brzinom svetlosti u vakuumu). Za kretanje kod tako velikih relativističkih brzina ne važi klasična mehanika, već se mora koristiti fizika specijalne relativnosti.
Izraz za centripetalnu silu pri relativističkom kretanju je: Extract of page 8
gde je
Lorencov faktor.One universe, by Neil deGrasse Tyson, Charles Tsun-Chu Liu, and Robert Irion.
Reference thumb|Telo koje ima ravnomerno kružno kretanje zahteva centripetalnu silu, prema osi kao što je prikazano, da zadrži svoju kružnu putanju.
U slučaju predmeta koji se ljulja oko kraja užeta u horizontalnoj ravni, centripetalna sila na predmet se obezbeđuje zatezanjem užeta. Primer užeta je primer koji uključuje silu 'povlačenja'. Centripetalna sila se takođe može isporučiti kao sila 'guranja', kao na primer u slučaju kada normalna reakcija zida obezbeđuje centripetalnu silu za zid smrti ili vozača rotora.
Njutnova ideja o centripetalnoj sili odgovara onome što se danas naziva centralnom silom. Kada je satelit u orbiti oko planete, gravitacija se smatra centripetalnom silom iako je u slučaju ekscentričnih orbita gravitaciona sila usmerena ka fokusu, a ne prema trenutnom centru zakrivljenosti.
Drugi primer centripetalne sile nastaje u spirali koja se nalazi kada se naelektrisana čestica kreće u uniformnom magnetnom polju u odsustvu drugih spoljnih sila. U ovom slučaju, magnetna sila je centripetalna sila koja deluje prema osi spirale.
Primeri Za telo koje pomoću užeta rotira u horizontalnoj ravni, u ulozi centripetalne sile koja izaziva kružno kretanje tela je sila zatezanja užeta. U ovom slučaju centripetalna sila je sila povlačenja. Centripetalna sila može biti pružena i kao sila guranja, kao u slučaju kada normalna reakcija zida pruža centripetalnu silu vozaču na zidu smrti.
Kada naelektrisana čestica uđe u uniformno magnetno polje pod pravim uglom u odnosu na pravac polja, magnetna sila će biti centripetalna sila za naelektrisanu česticu i u odsustvu drugih spoljašnjih sila, čestica će se kretati po spirali oko magnetnog polja. Kada naelektrisana čestica izgubi svoju brzinu, kretaće se po kružnici oko ose magnetnog polja.
Analiza nekoliko slučajeva
Ispod su data tri primera sve veće složenosti, sa izvođenjem formula za brzinu i ubrzanje.
Ujednačeno kružno kretanje
Ravnomerno kružno kretanje se odnosi na slučaj konstantne brzine rotacije. Slede dva pristupa opisa ovog slučaja.
Računsko izvođenje
U dve dimenzije, vektor položaja , koji ima veličinu (dužinu) i usmeren pod uglom iznad x-ose, može se izraziti u Dekartovim koordinatama pomoću jediničnih vektora and :
Pretpostavka o ravnomernom kružnom kretanju zahteva tri uslova: Objekat se kreće samo po krugu. Poluprečnik kruga se ne menja tokom vremena. Objekat se kreće konstantnom ugaonom brzinom oko kruga. Prema tome, gde je vreme.
Brzina kretanja i ubrzanje su prvi i drugi derivati položaja u odnosu na vreme:
Termin u zagradi je originalni izraz u Dekartovim koordinatama. Sledstveno,
negativna vrednost pokazuje da je ubrzanje usmereno ka centru kruga (nasuprot poluprečnika), te se zato naziva „centripetalno” (tj. „tražeći centar”). Dok objekti prirodno prate pravu putanju (zbog inercije), ovo centripetalno ubrzanje opisuje kružnu putanju kretanja uzrokovanu centripetalnom silom.
Izvođenje pomoću vektora right|thumb|Vektorski odnosi za ravnomerno kružno kretanje; vektor Ω koji predstavlja rotaciju je normalan na ravan orbite sa polaritetom određenim pravilom desne ruke i magnitudom dθ /dt.
Slika desno prikazuje vektorske odnose za ravnomerno kružno kretanje. Sama rotacija je predstavljena vektorom ugaone brzine Ω, koji je normalan na ravan orbite (pomoću pravila desne ruke) i ima veličinu datu kao:
sa θ ugaonim položajem u trenutku t. U ovom pododeljku, dθ/dt se pretpostavlja da je konstantno, nezavisno od vremena. Pređeno rastojanje dℓ čestice za vreme dt duž kružne putanje je
koje po svojstvima vektorskog unakrsnog proizvoda ima magnitudu rdθ i nalazi se u pravcu tangente na kružnu putanju.
Shodno tome,
Drugim rečima,
Diferencirajući u odnosu na vreme,
Lagranžova formula navodi:
Primenjujući Lagranžovu formulu uz zapažanje da je Ω • r(t) = 0 u svakom trenutku,
Rečju, ubrzanje je usmereno direktno suprotno od radijalnog pomeranja r u svakom trenutku i ima magnitudu:
gde vertikalne šipke |...| označavaju vektorsku veličinu, koja je u slučaju r(t) jednostavno poluprečnik r putanje. Ovaj rezultat se slaže sa prethodnim odeljkom, iako je notacija malo drugačija.
Kada se brzina rotacije učini konstantnom u analizi neujednačenog kružnog kretanja, ta analiza se slaže sa ovom.
Prednost vektorskog pristupa je u tome što je očigledno nezavisan od bilo kog koordinatnog sistema.
Primer: Nagnuto skretanje
thumb|Gornji panel: Lopta na nagnutoj kružnoj stazi koja se kreće konstantnom brzinom v; Donji panel: Sile na lopti Gornji panel na slici desno prikazuje loptu u kružnom kretanju na nagnutoj krivini. Kriva je nagnuta pod uglom θ u odnosu na horizontalu, a površina puta se smatra klizavom. Cilj je pronaći koji ugao mora imati bankina da lopta ne sklizne sa puta. Intuicija nam govori da će, na ravnoj krivini bez ikakvog nagiba, lopta jednostavno skliznuti sa puta; dok sa veoma strmim nagibom, lopta će kliziti do centra osim ako brzo putuje krivinom.
Osim bilo kakvog ubrzanja koje se može dogoditi u pravcu putanje, donji panel gornje slike pokazuje sile na loptu. Postoje dve sile; jedna je sila gravitacije vertikalno nadole kroz centar mase lopte mg, gde je m masa lopte, a g gravitaciono ubrzanje; druga je normalna sila naviše koju vrši put pod pravim uglom u odnosu na površinu puta man. Centripetalna sila koju zahteva zakrivljeno kretanje je takođe prikazana iznad. Ova centripetalna sila nije treća sila primenjena na loptu, već se mora obezbediti neto silom na loptu koja je rezultat vektorskog sabiranja normalne sile i sile gravitacije. Rezultantna ili neto sila na lopti pronađena vektorskim sabiranjem normalne sile koju vrši put i vertikalne sile usled gravitacije mora biti jednaka centripetalnoj sili koju diktira potreba da se putuje kružnom putanjom. Zakrivljeno kretanje se održava sve dok ova neto sila obezbeđuje centripetalnu silu potrebnu za kretanje.
Horizontalna neto sila na loptu je horizontalna komponenta sile od puta, koja ima magnitudu . Vertikalna komponenta sile od puta mora da se suprotstavi gravitacionoj sili: , što implicira . Zamena u gornju formulu za daje horizontalnu silu koja je:
S druge strane, pri brzini |v| na kružnoj putanji poluprečnika r, kinematika kaže da je sila potrebna da se lopta neprekidno okreće u zaokretu radijalno unutra centripetalna sila Fc magnitude:
Sledstveno, lopta je na stabilnoj putanji kada je ugao puta postavljen tako da se zadovolji uslov:
ili,
Kako se ugao nagiba θ približava 90°, tangentna funkcija se približava beskonačnosti, dozvoljavajući veće vrednosti za |v|2/r. Ova jednačina navodi da za veće brzine (veće |v|) put mora biti strmije nagnut (veća vrednost za θ), a za oštrija skretanja (manje r) put takođe mora biti strmije nagnut, što je u skladu sa intuicijom. Kada ugao θ ne zadovoljava gornji uslov, horizontalna komponenta sile koju vrši put ne obezbeđuje ispravnu centripetalnu silu, a dodatna sila trenja tangencijalna na površinu puta se poziva da obezbedi razliku. Ako trenje to ne može da uradi (tj. koeficijent trenja je prekoračen), lopta klizi na drugi radijus gde se ravnoteža može ostvariti.
Ove ideje važe i za vazdušni let. Pogledajte uputstvo za FAA pilote.
Neujednačeno kružno kretanje
thumb|Brzina i ubrzanje za neujednačeno kružno kretanje: vektor brzine je tangencijalan na orbitu, ali vektor ubrzanja nije radijalno unutra zbog svoje tangencijalne komponente aθ koja povećava brzinu rotacije: dω / dt = aθ / R.
Kao generalizacija slučaja ravnomernog kružnog kretanja, pretpostavimo da ugaona brzina rotacije nije konstantna. Ubrzanje sada ima tangencijalnu komponentu, kao što je prikazano na slici desno. Ovaj slučaj se koristi za demonstriranje strategije derivacije zasnovane na polarnom koordinatnom sistemu.