Квантно механички осцилатор је квантно механички аналог класичном хармонијском осцилатору. Будући да се произвољни потенцијал обично може апроксимирати као хармонијски потенцијал у близини стабилне тачке равнотеже, то је један од најважнијих системских модела у квантној механици. Квантни хармонијски осцилатор је један од ретких квантно-механичких система за који је познато тачно, аналитичко решење.
Једнодимензионални квантни осцилатор
Хамилтонијан и енергија својствених стања Хамилтонијан слободне честице дат је изразом:
где је m маса честице, k - константа, а угаона фреквенција осцилатора , - оператор координате дат са , - оператор импулса дат са
Први члан у Хамилтонијану представља кинетичку енергију честице, а други члан представља његову потенцијалну енергију.
Може се написати временски независна Шредингерова једначина:
где Е означава својствене вредности енергије, а решење означава сопствено енергетско стање. Диференцијална једначина која представља овај својствени проблем може се решити у бази координата, за таласну функцију ⟨x | ψ⟩ = ψ (x), користећи спектралну методу. Испада да постоји породица решења. На основу тога, они представљају Хермитеове функције:
Функције Hn представљају Хермитеове полиноме
Огдоварајући нивои енергије су:
Овај енергетски спектар је запажен из три разлога. Прво, енергије се квантују, што значи да су могуће само дискретне вредности енергије (цели број-половина умношка ħω); ово је општа карактеристика квантно-механичких система када је честица ограничена. Друго, ти дискретни енергетски нивои су подједнако распоређени, за разлику од Боровог модела атома. Треће, најнижа достижна енергија (енергија n = 0 стања, која се назива основно стање) није једнака минимуму потенцијалне јаме, већ је ħω / 2 изнад ње. Ово се назива енергија нулте тачке. Због енергије нулте тачке, положај и момент осцилатора у основном стању нису фиксни (као што би то било у класичном осцилатору), већ имају мали опсег одступања, у складу са Хајзенберговим принципом неодређености.
Референце
Категорија:Квантна механика