У математици, а тачније у алгебарској топологији и полиедарској комбинаторици, Ојлерова карактеристика (у појединим гранама математике понекад реферисана и само као карактеристика или Ојлеров број — не треба мешати са Ојлеровом константом, на коју се, такође, често реферише као на Ојлеров број) је инваријантна вредност која зависи од тополошког облика и особина објекта који описује. Најчешће се обележава малим грчким словом χ (хи). Назив захваљује Леонарду Ојлеру, познатом швајцарском математичару и физичару.

Оригинално се употребљавала у геометрији за описивање полиедара, али је своју примену пронашла у топологији и касније у теорији графова. То је наведено за платонска тела 1537. године у необјављеном рукопису Франческа Мауролика. Леонард Ојлер, по коме је концепт добио име, увео га је генерално за конвексне полиедре, али није успео да ригорозно докаже да је он инваријанта. У савременој математици, Ојлерова карактеристика произилази из хомологије и, апстрактније, хомолошке алгебре.

Ојлерова карактеристика у геометрији и топологији десно|мини|150п|Троугао има Ојлерову карактеристику 1.

Ојлерова карактеристика геометријске фигуре у геометрији означава суму , где је -{T}- број темена фигуре, -{I}- број ивица а -{P}- број пљосни дате фигуре. Управо овај идентитет је први доказао Ојлер.

Јасно, сваки троугао има карактеристику 1 (3 темена, 3 ивице и једна пљосан). Одавде следи да и свака раванска фигура има Ојлерову карактеристику 1 (свака фигура у равни се може триангулисати, тј. разложити на више мањих троуглова — сада се спајањем два троугла по заједничкој ивици карактеристика не мења, јер се број темена повећава за 1, број ивица за 2, а број пљосни за 1). Како се и сваки полиедар може разложити на ланац повезаних полиедара, то је карактеристика целог полиедра управо 2 (настављањем полиедара један на други се карактеристика не мења, слично као малопре, али се при додавању „последњег” полиедра број ивица и темена не мења, а добија се додатна пљосан). Уопштено, за правилан полиедар са -{n}- „рупа” важи да му је карактеристика -{2(1-n)}- (нпр. торус је карактеристике 0). Испод је дата табела неких конвексних и неких неконвексних тродимензионалних геометријских фигура са својим карактеристикама.

НазивСликаКонвексностБрој темена(-{T}-)Број ивица(-{I}-)Број пљосни(-{P}-)КарактеристикаТетраедар80пконвексан4662Хексаедар(коцка)80пконвексан81262Октаедар80пконвексан61282Додекаедар80пконвексан2030122Икосаедар80пконвексан1230202Тетрахемихексаедар80пконкаван61271Октахемиоктаедар80пконкаван1224120Мали звездасти додекаедар80пконкаван123012 -6Велики звездасти додекаедар80пконкаван2030122

Слично као у геометрији се дефинише Ојлерова карактеристика и у топологији. Испод се налази табела са неким тополошким облицима са својим карактеристикама.

НазивСликаКонвексностКарактеристикаСфера80пконвексан2Торус80пконкаван 0Дупли (дворупи)торус80пконкаван -2Трорупи торус80пконкаван -4

Ојлерова карактеристика у теорији графова мини|десно|220п|Пример планарног графа. Као и сви остали планарни графови, и овај је Ојлерове карактеристике 2.

Ојлерова карактеристика планарног графа -{G}- у теорији графова је резултат , где је -{V(G)}- скуп чворова графа -{G}-, -{E(G)}- скуп грана графа -{G}-, а -{f(G’)}- број области на које планарно утапање -{G’}- графа -{G}- раздељује раван својим гранама и чворовима.

Може се показати да сви планарни графови имају Ојлерову карактеристику 2 (у теорији графова је ово тврђење познато као Ојлерова теорема). У општем случају ће важити, за произвољан граф -{G}-, , где је -{ω(G)}- број компоненти повезаности графа -{G}-.

Испод је дата табела са неколико графова и њиховим карактеристикама.

Граф GБрој чворова G (|V(G)|)Број грана G(|E(G)|)Број области G(f(G'))Број компонентиповезаности G (ω(G))Карактеристика GНапомена80п6621280п1218812Иако се граф на први поглед не чини планарним, ипак јесте (могуће је „извући” поједине гране у „спољашњост” како се не би секле са осталима).250п21271034

Види још Полиедар Планарни графови Конвексни скуп

Референце

Литература

. Flegg, H. Graham; From Geometry to Topology, Dover 2001, p. 40.

. . .

. With an appendix by David A. Buchsbaum. Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp.

. Reprint of the 1975 edition. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 1995. x+422 pp. . Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, New York, 1997. xii+364 pp. . Translated from Russian 1988 edition. Second edition. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. , V, Encyclopaedia Math. Sci., 38, Springer, Berlin, 1994). Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. . Springer 2002, , pp. 157–159

. . R. Brown and T. Porter, On the Schreier theory of non-abelian extensions: generalisations and computations, Proceedings of the Royal Irish Academy, vol. 96A (1996), 213–227. . P. J. Morandi, Group Extensions and H3. From his collection of short mathematical notes.

Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.

Спољашње везе

-{Euler Characteristic of the Barycentric Subdivision of an n-Simplex. In math.stackexchange.}- -{Euler characteristic constant under barycentric subdivision. In math.stackexchange.}-

Категорија:Алгебарска топологија Категорија:Тополошка теорија графова Категорија:Леонард Ојлер