У теорији бројева, Ојлеров производ је развој Дирихлеовог реда у бесконачан производ индексиран простим бројевима. Оригинални такав производ дао је Леонард Ојлер за суму свих позитивних целих бројева подигнутих на одређени степен. Овај ред и његов наставак на целу комплексну раван касније су постали познати као Риманова зета-функција.
Дефиниција Уопштено, ако је ограничена мултипликативна функција, онда је Дирихлеов ред
једнак
где се производ узима преко простих бројева , а је сума
У ствари, ако ово посматрамо као формалне генераторске функције, постојање таквог формалног развоја Ојлеровог производа је нужан и довољан услов да буде мултипликативно: ово тачно каже да је производ од кад год се факторише као производ степена различитих простих бројева .
Важан посебан случај је онај у коме је потпуно мултипликативна функција, тако да је геометријски ред. Тада је
као што је случај за Риманову зета-функцију, где је , и уопштеније за Дирихлеове карактере.
Конвергенција У пракси, сви важни случајеви су такви да су бесконачни ред и бесконачни производ апсолутно конвергентни у некој области
то јест, у некој десној полуравни у комплексним бројевима. Ово већ даје неке информације, јер бесконачни производ, да би конвергирао, мора дати ненулту вредност; стога функција дата бесконачним редом није нула у таквој полуравни.
У теорији модуларних форми типично је имати Ојлерове производе са квадратним полиномима у имениоцу. Општа Ленглендсова филозофија укључује упоредиво објашњење везе између полинома степена и теорије репрезентација за .
Примери Следећи примери ће користити нотацију за скуп свих простих бројева, то јест:
Ојлеров производ везан за Риманову зета-функцију , такође користећи суму геометријског реда, јесте
док је за Лијувилову функцију , он
Користећи њихове реципроке, два Ојлерова производа за Мебијусову функцију су
и
Узимањем односа ова два производа добија се
Пошто за парне вредности Риманова зета-функција има аналитички израз у облику рационалног умношка од , онда за парне експоненте овај бесконачни производ даје рационалан број. На пример, пошто је , , и , тада је
и тако даље, при чему је први резултат познат од Рамануџана. Ова породица бесконачних производа је такође еквивалентна са
где броји број различитих простих фактора од , а је број бесквадратних делитеља. Ако је Дирихлеов карактер кондуктора , тако да је потпуно мултипликативна и зависи само од , и ако није узајамно прост са , онда
Овде је згодно изоставити просте бројеве који деле кондуктор из производа.
У својим свескама, Рамануџан је генерализовао Ојлеров производ за зета-функцију као
за где је полилогаритам. За горњи производ је тачно .
Значајне константе Многе познате константе имају развој у Ојлеров производ.
Лајбницова формула за
може се тумачити као Дирихлеов ред користећи (јединствени) Дирихлеов карактер модуло 4, и конвертовати у Ојлеров производ суперпартикуларних односа (разломака где се бројилац и именилац разликују за 1):
где је сваки бројилац прост број, а сваки именилац најближи вишекратник броја 4..
Остали Ојлерови производи за познате константе укључују:
Харди-Литлвудова константа двојних простих бројева:
Ландау-Рамануџанова константа:
Муратина константа :
Јака безбрижна константа :
Артинова константа :
Ландауова тотијент константа :
Безбрижна константа :
и њен реципрок :
Фелер-Торнијеова константа :
Константа квадратног броја класа :
Константа суматорног тотијента :
Сарнакова константа :
Безбрижна константа :
Јака безбрижна константа :
Стивенсова константа :
Барбанова константа :
Танигучијева константа :
Хит-Браун-Морозова константа :
Напомене
Референце
G. Polya, (1954) L.C. Card 53-6388 (Веома приступачан енглески превод Ојлеровог мемоара о овом "Најнеобичнијем закону бројева" појављује се почевши од стране 91) (Пружа уводну дискусију о Ојлеровом производу у контексту класичне теорије бројева.) G.H. Hardy and E.M. Wright, , Oxford (1979) (Поглавље 17 даје даље примере.) George E. Andrews, Bruce C. Berndt, , Springer (2005), G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"
Спољашње везе
Категорија:Аналитичка теорија бројева Категорија:Зета и L-функције Категорија:Математичке константе Категорија:Бесконачни производи