alt=Кизенерови штапићи који показују праве делиоце броја 6 (1, 2 и 3) који се сабирају у 6|thumb|Визуелизација броја 6 као савршеног броја alt=Графикон који приказује године на x-оси са бројем цифара највећег познатог простог броја на логаритамској y-оси, са две линије тренда|thumb|Логаритамски график броја цифара највећег познатог простог броја по годинама, од којих су скоро сви били Мерсенови прости бројеви
Мерсенови прости бројеви и савршени бројеви су две дубоко повезане врсте природних бројева у теорији бројева. Мерсенови прости бројеви, названи по калуђеру Марену Мерсену, су прости бројеви који се могу изразити као за неки позитиван цео број . На пример, је Мерсенов прост број јер је прост број и може се изразити као . Експоненти који одговарају Мерсеновим простим бројевима морају и сами бити прости, иако велика већина простих бројева не води до Мерсенових простих бројева — на пример, .
Савршени бројеви су природни бројеви који су једнаки збиру својих позитивних правих делилаца, што су делиоци искључујући сам број. Дакле, је савршен број јер су прави делиоци броја и , а .
Еуклид је доказао да сваки прост број изражен као има одговарајући савршен број . На пример, Мерсенов прост број води до одговарајућег савршеног броја . Године 1747, Леонард Ојлер је довршио оно што се данас назива Еуклид-Ојлерова теорема, показавши да су то једини парни савршени бројеви. Као резултат тога, постоји кореспонденција један-на-један између Мерсенових простих бројева и парних савршених бројева, па се списак једних може претворити у списак других. Тренутно је отворен проблем да ли постоји бесконачно много Мерсенових простих бројева и парних савршених бројева. Густина Мерсенових простих бројева је предмет Ленстра–Померанс–Вагстафове хипотезе, која наводи да је очекивани број Мерсенових простих бројева мањих од неког датог једнак , где је Ојлеров број, је Ојлер-Маскеронијева константа, а је природни логаритам. Широко се верује, али није доказано, да не постоје непарни савршени бројеви; доказани су бројни рестриктивни услови, укључујући доњу границу од .
Следи списак свих 52 тренутно позната () Мерсенова проста броја и одговарајућих савршених бројева, заједно са њиховим експонентима . Највећих 18 од њих открио је пројекат дистрибуираног рачунарства Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS); њихови проналазачи су наведени као „GIMPS / име”, где је име особа која је обезбедила рачунар на којем је дошло до открића. Нови Мерсенови прости бројеви проналазе се помоћу Лукас-Лемовог теста (ЛЛТ), теста простости за Мерсенове просте бројеве који је ефикасан за бинарне рачунаре. Због ове ефикасности, највећи познати прост број је често био Мерсенов прост број.
Сви могући експоненти до 48. () су тестирани и верификовани од стране GIMPS-а . Рангови од 49. па надаље су привремени и могу се променити у мало вероватном случају да се открију додатни прости бројеви између тренутно наведених. Каснији уноси су изузетно дуги, па су приказане само прве и последње шест цифара сваког броја, заједно са бројем децималних цифара. + Табела свих 52 тренутно позната Мерсенова проста броја и одговарајућих савршених бројева Ранг Мерсенов прост број Савршен број Откриће Извори који се односе на скоро све уносе:
Вредност Цифре Вредност Цифре Датум Проналазач Метод 1 2 3 1 6 1 Античкодоба Познато старогрчким математичарима Незабележено 2 3 7 1 28 2 3 5 31 2 496 3 4 7 127 3 8128 4 5 13 8191 4 33550336 8 13. векили 1456. Ибн Фалус или анонимно Проба дељењем 6 17 131071 6 8589869056 10 Пјетро Каталди 7 19 524287 6 137438691328 12 8 31 2147483647 10 230584...952128 19 Леонард Ојлер Проба дељењем са модуларним рестрикцијама 9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 Иван Первушин Лукасови низови 10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 Ралф Ернест Пауерс 11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 Едуар Лика 13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 Рафаел М. Робинсон Лукас-Лемов тест (ЛЛТ) на SWAC-у 14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 15 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770 16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327 17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373 18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937 Ханс Ризел ЛЛТ на BESK 19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2.561 Александар Хурвиц ЛЛТ на IBM 7090 20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663 21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834 Доналд Б. Гилис ЛЛТ на ILLIAC II 22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985 23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751 24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003 Брајант Такерман ЛЛТ на IBM 360/91 25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066 Ландон Курт Нол и Лаура Никел ЛЛТ на CDC Cyber 174 26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973 Ландон Курт Нол 27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790 Хари Л. Нелсон и Дејвид Словински ЛЛТ на Cray-1 28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924 Дејвид Словински 29 110.503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530 Валтер Колкит и Лук Велш ЛЛТ на NEC SX-2 30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502 Дејвид Словински и сар. (Cray) ЛЛТ на Cray X-MP 31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100 ЛЛТ на Cray X-MP/24 32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663 ЛЛТ на Cray-2 у лабораторији Harwell 33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430 ЛЛТ на Cray C90 34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263 ЛЛТ на Cray T94 35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842 GIMPS / Жоел Арманго ЛЛТ / Prime95 на 90 MHz Pentium PC-у 36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864 GIMPS / Гордон Спенс ЛЛТ / Prime95 на 100 MHz Pentium PC-у 37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050 GIMPS / Роланд Кларксон ЛЛТ / Prime95 на 200 MHz Pentium PC-у 38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919 GIMPS / Најан Хаџратвала ЛЛТ / Prime95 на IBM Aptiva са 350 MHz Pentium II процесором 39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892 GIMPS / Мајкл Камерон ЛЛТ / Prime95 на PC-у са 800 MHz Athlon Т-Bird процесором 40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858 GIMPS / Мајкл Шејфер ЛЛТ / Prime95 на Dell Dimension PC-у са 2 GHz Pentium 4 процесором 41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465 GIMPS / Џош Финдли ЛЛТ / Prime95 на PC-у са 2.4 GHz Pentium 4 процесором 42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458 GIMPS / Мартин Новак 43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103 GIMPS / Кертис Купер и Стивен Бун ЛЛТ / Prime95 на PC-у на Универзитет Централног Мисурија 44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714 45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543 GIMPS / Ханс-Михаел Елвених ЛЛТ / Prime95 на PC-у 46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127 GIMPS / Од Магнар Стриндмо ЛЛТ / Prime95 на PC-у са 3 GHz Intel Core 2 процесором 47 43,112,609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377 GIMPS / Едсон Смит ЛЛТ / Prime95 на Dell OptiPlex PC-у са Intel Core 2 Duo E6600 процесором 48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340 GIMPS / Кертис Купер ЛЛТ / Prime95 на PC-у на Универзитету Централног Мисурија 49 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235 GIMPS / Кертис Купер ЛЛТ / Prime95 на PC-у са Intel Core i7-4790 процесором 50 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850 GIMPS / Џонатан Пејс ЛЛТ / Prime95 на PC-у са Intel Core i5-6600 процесором * 73.546.481 Најнижа непроверена прекретница 51 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095 GIMPS / Патрик Ларош ЛЛТ / Prime95 на PC-у са Intel Core i5-4590T процесором 52 136.279.841 881694...871551 41.024.320 388692...008576 82.048.640 GIMPS / Лук Дурант ЛЛТ / PRPLL на Nvidia H100 GPU * 130.640.681 Најнижа нетестирана прекретница
Напомене
Референце
Спољашње везе
Списак на GIMPS-у, са пуним вредностима великих бројева Технички извештај о историји Мерсенових бројева, аутора Гаја Хаворта
Категорија:Математичке табеле Прости бројеви Списак Списак Категорија:Бројеви