thumb|right|300px|Илустрација из књиге Сијуан Јуђијан thumb|right|200px|„Гуфа Ћи Ченгфанг Ту“ (Дијаграм седмостепених метода старих мајстора) из поглавља Џу Шиђијеа „Сијуан Јуђијан“ Сијуан Јуђијан (кин: 四元玉鑒, пинјин: Sìyuán Yùjiàn, што значи „Драгоцено огледало четири елемента“) је ремек-дело кинеског математичара Џу Шиђијеа (朱世傑) из периода династије Јуан, написано 1303. године. Књига се првенствено бави успостављањем и решавањем система више (од једне до четири) вишестепене једначине претварањем у једну вишестепену једначину (до 14. степена) путем елиминације. Метода успостављања четворостепених вишестепених једначина и њихове редукције на једну једначину елиминацијом назива се Сијуаншу (四元术, Метода четири елемента).
У методи Сијуаншу постављају се четири непознате (Тјенјуан, Дијуан, Ренјуан, Вујуан – небо, земља, човек, материја) и скуп од четири вишестепене нелинеарне једначине. Затим се елиминише једна непозната из ових система, чиме се добија систем вишестепених полиномских једначина са три непознате; потом се из ова три система са три непознате елиминише друга непозната, чиме се добијају два система вишестепених полиномских једначина са две непознате; следећи корак је елиминација још једне непознате из два система са две непознате, што на крају резултира вишестепеном једначином са само једном непознатом.
Успостављање једначина и механизоване методе за њихово решавање су срж кинеске традиционалне математике. Џанг Цанг у свом делу „Ђиу Џанг Суаншу“ (Девет поглавља о математичкој вештини) објашњава методу елиминације за решавање система линеарних једначина (касније поново откривена као Гаусова елиминациона метода). Ћин Ђиушао у „Математичким поглављима“ (数学九章) из периода династије Сунг развија „Линглонг Каи Фа“ (玲珑开发法) за проналажење корена вишестепених полиномских једначина са једном непознатом. Џу Шиђије је проширио Џанг Цангову методу елиминације на вишестепене нелинеарне полиномске системе, сводећи их на једну вишестепену полиномску једначину, која се онда могла решити методом Линглонг Каи Фа Ћин Ђиушаоа. У погледу успостављања једначина, Џу Шиђије је проширио Тијенјуаншу (天元术, Метода небеског елемента) на вишеструке променљиве. „Сијуан Јуђијан“ обједињује достигнућа Џанг Цангове методе елиминације, Линглонг Каи Фа Ћин Ђиушаоа и Тијенјуаншу методе, представљајући круну кинеске традиционалне математике и доводећи механизоване алгоритме до врхунца.
„Сијуан Јуђијан“ представља претечу и основу; његова метода елиминације за системе полинома са више променљивих постала је једна од основа за методу карактеристичних низова и математичку механизацију академика Ву Венђуна, познату као Вуова елиминациона метода.Ву Венђун, „Математичка механизација“, прво поглавље: „Решавање система полиномских једначина у древној Кини“, стр. 18, Издавачка кућа наука,
Поред тога, „Сијуан Јуђијан“ се бави и темама као што су Дуођишу (垛积术, Метода слагања гомила) – проблеми сумирања и инверзни проблеми виших аритметичких низова као што су троугаоне гомиле, звездасте троугаоне гомиле, четвороугаоне гомиле, конусне гомиле, конусне гомиле са зарубљеним врхом итд. – и Џаочашу (招差术, Метода интерполације).
„Сијуан Јуђијан“ је подељен на уводно поглавље, горњи, средњи и доњи том, са 24 секције и 288 питања, укључујући 232 питања о Тијенјуаншу методи, 36 о методу са две непознате, 13 о методу са три непознате и 7 о методу са четири непознате.„Комплетна дела Ли Јена и Ћијен Баоцунга о историји науке“, Том I, Ћијен Баоцунг, „Историја кинеске математике, Горњи део“, Четири питања у уводном поглављу су примери и садрже детаљне кораке решавања, док остала 284 питања садрже само методе без корака решавања. Године 1837, математичар из династије Ћинг, Луо Шилин, допунио је детаљне кораке решавања и објавио „Сијуан Јуђијан Сицао“ (四元玉鑒細草) у три тома.
Уводно поглавље thumb|right|250px|Сијуан Циченг Јандуан Ту
Поставка четири елемента:
x y 太w z
Само-множењем се добија:
center|300px|
thumb|right|300px|a Гоу (крак), b Гу (други крак), c Сијан (хипотенуза) Ји Ћи Хун Јуан Овај одељак објашњава Тијенјуаншу методу.
Према условима: Жути квадрат помножен са директним производом даје 24 корака. Жути квадрат: Џу Шиђије, оригинално дело; Ли Џаохуа, корекција: „Сијуан Јуђијан“, стр. 148, Издавачка кућа наука, Директан производ: Добија се: Осим тога: Збир катете и хипотенузе је девет корака.
(Поставите Тијенјуан један као Гоу) Из овога се добија једначина:
（ ） 太
Решавањем се добија Гоу = 3.
Љанг Ји Хуа Јуан Овај одељак објашњава методу са две непознате.
Заједничким решавањем добијамо:
太 Тренутна формула: ;
Такође, према датим условима, добијамо:
太 Облак формула: ;
Из овога следи:
太
и
太
Елиминацијом се добија:
Решавањем се добија .
Сан Цаи Јун Јуан Овај одељак објашњава методу са три непознате.
Џу Шиђије у одељку „Сан Цаи Јун Јуан“ детаљније објашњава методу сукцесивне елиминације, што је привукло пажњу домаћих и страних научника.Ву Венђун, „Математичка механизација“, „Пример Џу Шиђијеа“, стр. 18-19, Издавачка кућа наука, Џу Шиђије, оригинално дело; Ли Џаохуа, корекција: „Сијуан Јуђијан“, стр. 149-153, Издавачка кућа наука, J. Hoe, „Les Systèmes d'Équation Polynomes dans le siyuanyujian“, Institut des Hautes Études Chinoises, Paris 1977
Добија се:
太 Тренутна формула
Облак формула:
太 Формула три елемента:
Елиминацијом из формуле три елемента и облак формуле,
Рен-Тјен замена места (Рен хипотенуза --> Тјен Гоу)
добија се:
太 Предња формула
и
太 Задња формула
Елиминацијом се добија:
Решавањем се добија Тјен Гоу = 5;
Рен-Тјен замена места (Тјен Гоу --> Рен хипотенуза)
добија се хипотенуза = пет корака.
Си Сјанг Хуи Јуан Овај одељак објашњава методу са четири непознате. thumb|right|300px|Си Сјанг Хуи Јуан
Добија се систем од четири једначине:Џу Шиђије, оригинално дело; Ли Џаохуа, корекција: „Сијуан Јуђијан“, стр. 153, Издавачка кућа наука, „Комплетна дела Ли Јена и Ћијен Баоцунга о историји науке“, Том I, Ли Јен, „Историја кинеске математике“, 1： ; 2： ; 3： ; 4： ;... Елиминацијом, Ву замењује Тјен.
Решавањем,
Ву замењује Тјен, добија се четрнаест корака.
Горњи том thumb|right|150px|Хунђи Венјуан Џидуан Ћиујуан Осамнаест питања.
Осамнаесто питање:
Поставите Тијенјуан један као коренски број, добија се:
Решавањем се добија x=3, помножено са четири даје 12, што је равна страница.
Хунђи Венјуан Осамнаест питања Дуанпи Хујин Девет питања Линсу Хуићиу Шест питања Шанггонг Сјуџу Седам питања Хефен Суојин Тринаест питања.
Средњи том thumb|right|160px|Сада имамо округли град Жуји Хунхе Два питања Фангјуан Ђиаоцуо Девет питања Санли Ћиујуан Четрнаест питања
Површина круга Обим круга Вредност Пи () узета као Хуијева стопа Добија се следећа једначина:
тј. .
Мингђи Јендуан Двадесет питања Гоугу Цеван Осам питања Прво питање
Поставите Тијенјуан један као половину дужине града, добија се једначина четвртог степена: Wan you wen ku, Друга збирка, Џу Шиђије, коментар Луо Шилина (средњи том), поглавље 5, Решавањем се добија x=240 корака, дужина града = 2x = 480 корака = 1 ли и 120 корака. Слично, поставите Тијенјуан један као половину ширине града. Добија се једначина: Wan you wen ku, Друга збирка, Џу Шиђије, коментар Луо Шилина (средњи том), поглавље 5, Решавањем се добија x=180 корака, ширина града = 360 корака = један ли.
Седмо питање
Ово питање је исто као проблем „Поглед у дубоку долину“ из дела „Хаидао Суанђинг“ Лију Хуија.
Осмо питање
Ово питање је исто као проблем „Поглед у бистри извор“ из дела „Хаидао Суанђинг“ Лију Хуија.
Хуовен Гетуан Дванаест питања Ђиаоцао Сингдуан Седам питања Ђиенђи Ђиаоцан Седам питања Бахуан Ђиетијен thumb|right|160px|Бахуан Ђиетијен Деветнаест питања Жусијанг Џаошу Пет питања. Пето питање у поглављу „Жусијанг Џаошу“ даје најранију формулу за четворостепену интерполацију на свету. Џу Шиђије,
Прво се израчунају горња разлика (прва разлика), друга, трећа и доња (четврта разлика), а затим се помоћу методе четворостепене интерполације (招差术, Џаочашу) добија одговор.Ли Јен, „Примена интерполационих метода у кинеским алгоритмима“,
Број дана Укупан број регрута Горња разлика (дневни број регрута) Друга разлика Трећа разлика Доња разлика 1 27 27 2 91 64 37 3 216 125 61 24 4 432 216 91 30 6 5 775 343 127 36 6 ... Укупан број регрута = .
Где је x=горња разлика, y=друга разлика, z=трећа разлика, w=доња разлика.
Доњи том Гуодуо Диецанг Двадесет питања. Ово поглавље разматра троугаоне гомиле, звездасте троугаоне гомиле, четвороугаоне гомиле, конусне гомиле итд.
Прво питање:
Низ троугаоне гомиле: Број плодова по страници, од врха ка дну: 1, 2, 3, 4, 5, 6, , n. Вредност сваког плода, од врха ка дну: 2, 3, 4, 5, 6, , n+1. Вредност троугаоне гомиле воћа V је представљена следећим низом:
Ово је проблем где је познат збир низа, а тражи се n. Џу Шиђије користи Тијенјуаншу, постављајући Тијенјуан један као број плодова на основној страници (x=n). Формула за суму коју користи Џу Шиђије: Сада, за , добија се: Wan you wen ku, Друга збирка, Џу Шиђије, коментар Луо Шилина (доњи том), поглавље 1, Решавањем се добија . .
Суотао Тунронг Деветнаест питања Фангченг Џенгфу Осам питања Цафан Леихуи Тринаест питања Љангји Хеџе Дванаест питања. Користи Тијен и Ди (небо и земља) као две непознате.„Комплетна дела Ли Јена и Ћијен Баоцунга о историји науке“, Том I, Ћијен Баоцунг, „Историја кинеске математике, Горњи део“, поглавље 19, Цуојоу Фенгјуан Двадесет и једно питање. Користи Тијен и Ди. Санцаи Бјентонг Једанаест питања. Користи Тијен, Ди, и Рен (небо, земља, човек) као три непознате. Сисијанг Чаојуан Шест питања. Користи Тијен, Ди, Рен, и Ву (небо, земља, човек, материја) као четири непознате.
Друго питање:
Добија се:Џу Шиђије, оригинално дело; Ли Џаохуа, корекција: „Сијуан Јуђијан“, стр. 246-249, Издавачка кућа наука, Wan you wen ku, Друга збирка, Џу Шиђије, коментар Луо Шилина (доњи том), поглавље 8,
Издања Ванг Сјуенлингов препис, 1819. Шен Ћинпеијево издање са коментарима, 1822. Хе Јуенсијево штампано издање, 1822. Луо Шилиново издање са коментарима, 1837. Даи Сјуов препис са коментарима, 1845. Џигутанг издање, 1891. Хонгбаоџаи каменотисак, 1895. Wan you wen ku: Џу Шиђије, коментари Луо Шилина, „Сијуан Јуђијан Сицао“ у три тома (према издању Луо Шилина из 1839), 1937. Збирка античке математике, фотокопија, 1994. Чуанши Цангшу издање, 1996. Велика кинеска библиотека: „Сијуан Јуђијан“ (Jade Mirror of the Four Unknowns), двојезично кинеско-енглеско издање, два тома. Превод Гуо Шучун, енглески превод Чен Цаичун, приредио Гуо Ђинхаи, Образовно издаваштво Лиаонинг, 2006. Ли Џаохуа, корекција: „Сијуан Јуђијан“, Издавачка кућа наука, 2007.
Референце
Категорија:Кинеске античке математичке књиге Категорија:Књиге из династије Јуан