У математици, једначина четвртог степена (или квартична једначина) је једначина која се може изразити тако да је функција четвртог степена једнака нули. Општи облик једначине четвртог степена је
мини|десно|233px|График полиномске функције степена 4, са њена 4 корена и 3 критичне тачке.
где је a ≠ 0.
Једначина четвртог степена је полиномска једначина највишег степена која се у општем случају може решити кореновањем (помоћу радикала).
Историја Откриће решења једначине четвртог степена 1540. године приписује се Лодовику Ферарију, али пошто ово решење, као и сва алгебарска решења једначине четвртог степена, захтева проналажење решења кубне једначине, није могло бити одмах објављено. Решење једначине четвртог степена објавио је заједно са решењем кубне једначине Фераријев ментор Ђироламо Кардано у књизи Ars Magna (1545).
Доказ да је ово општи полином највишег степена за који се могу наћи таква решења први пут је дат у Абел-Руфинијевој теореми 1824. године, чиме је доказано да би сви покушаји решавања полинома вишег степена били узалудни. Белешке које је Еварист Галоа оставио пре своје смрти у двобоју 1832. године касније су довеле до елегантне комплетне теорије корена полинома, чији је ова теорема била један од резултата.
Решења специјалних случајева
Посматрајмо једначину четвртог степена изражену у облику :
Постоји општа формула за проналажење корена једначина четвртог степена, под условом да коефицијент водећег члана није једнак нули. Међутим, пошто је општи метод прилично сложен и подложан грешкама у извршавању, боље је применити неки од специјалних случајева наведених у наставку, уколико је то могуће.
Дегенерисани случај Ако је слободни члан a4 = 0, тада је један од корена x = 0, а остали корени се могу наћи дељењем са x и решавањем добијене кубне једначине,
Очигледни корени: 1, −1 и −
Нека је наш полином четвртог степена . Пошто је 1 степеновано на било који број једнако 1,
Дакле, ако је онда је па је самим тим = 1 корен полинома . Слично се може показати да ако је онда је = −1 корен.
У оба случаја цео полином четвртог степена се затим може поделити фактором или , редом, дајући нови кубни полином, који се може решити како би се пронашли остали корени једначине четвртог степена.
Ако је и тада је корен једначине. Цела једначина четвртог степена се тада може факторизовати на следећи начин:
Алтернативно, ако је и тада и постају два позната корена. Када се подели са , добија се квадратни полином.
Биквадратне једначине Једначина четвртог степена у којој су a3 и a1 једнаки 0 узима облик
и на тај начин представља биквадратну једначину, која се лако решава: нека је , тако да наша једначина постаје
што је једноставна квадратна једначина, чија се решења лако налазе коришћењем формуле за решавање квадратне једначине:
Када је решимо (тј. пронађемо ове две вредности за z), из њих можемо издвојити x:
Ако је неко од решења за z негативан или комплексан број, тада су и нека решења за x комплексни бројеви.
Квазисиметричне једначине
Кораци:
Поделити са x 2. Увести смену променљиве z = x + m/x. Тако је z 2 = x 2 + (m/x) 2 + 2m.
То доводи до:
, , (квадратна једначина по z = x + m/x)
Вишеструки корени
Ако једначина четвртог степена има двоструки корен, он се може наћи тражењем највећег заједничког делиоца полинома и његовог извода. Затим се полином може њиме поделити, а резултујућа квадратна једначина решити.
Уопштено говорећи, постоје само четири могућа случаја једначина четвртог степена са вишеструким коренима, који су наведени у наставку: Вишеструкост 4 (M4): када се општа једначина четвртог степена може изразити као , за неки реалан број . Овај случај се увек може свести на биквадратну једначину. Вишеструкост 3 (M3): када се општа једначина четвртог степена може изразити као , где су и два различита реална броја. Ово је једини случај који се никада не може свести на биквадратну једначину. Двострука вишеструкост 2 (DM2): када се општа једначина четвртог степена може изразити као , где су и два различита реална броја или пар нереалних конјуговано комплексних бројева. Овај случај се такође увек може свести на биквадратну једначину. Једнострука вишеструкост 2 (SM2): када се општа једначина четвртог степена може изразити као , где су , и три различита реална броја или је реалан број, а и су пар нереалних конјуговано комплексних бројева. Овај случај је подељен на два потслучаја: оне који се могу свести на биквадратну једначину и оне који не могу.
Посматрајмо случај у којем се три немонична коефицијента сведене једначине четвртог степена, , могу изразити преко пет коефицијената опште једначине четвртог степена на следећи начин:
, Затим су у наставку приказани критеријуми за a priori идентификацију сваког случаја једначина четвртог степена са вишеструким коренима и њихова одговарајућа решења. M4. Општа једначина четвртог степена одговара овом случају кад год је , тако да су четири корена ове једначине дата на следећи начин: . M3. Општа једначина четвртог степена одговара овом случају кад год је и , тако да су четири корена ове једначине дата на следећи начин ако је :
У супротном, ако је :
. DM2. Општа једначина четвртог степена одговара овом случају кад год је , тако да су четири корена ове једначине дата на следећи начин:
. Биквадратни SM2. Општа једначина четвртог степена одговара овом потслучају SM2 једначина кад год је , тако да су четири корена ове једначине дата на следећи начин:
. Небиквадратни SM2. Општа једначина четвртог степена одговара овом потслучају SM2 једначина кад год је , тако да су четири корена ове једначине дата следећом формулом: , где је:
.
Општи случај
мини|600px|центар|Формула за једначину четвртог степена у потпуности исписана преко коефицијената једначине четвртог степена, за монични случај. Због своје гломазне природе, обично се даје преко помоћних променљивих које се прво рачунају из коефицијената.
За почетак, једначина четвртог степена мора прво бити претворена у сведену једначину четвртог степена (енгл. ).
Претварање у сведену једначину четвртог степена Нека је
општа једначина четвртог степена коју желимо да решимо. Дељењем обе стране са ,
Први корак, ако већ није нула, требало би да буде елиминација члана са 3. Да би се ово урадило, потребно је увести смену променљиве са на , тако да је
Затим је
Развојем степена бинома добија се
Груписањем истих степена променљиве u добија се
Сада преименујемо коефицијенте уз . Нека је
Резултујућа једначина је
што је сведена једначина четвртог степена.
Ако је онда имамо специјалан случај биквадратне једначине, која се лако решава, као што је претходно објашњено. Напомињемо да опште решење, дато у наставку, неће функционисати за специјалан случај Ова једначина мора бити решена као биквадратна.
У сваком случају, након што се сведена једначина четвртог степена реши по , заменом тих вредности у
добијају се вредности за које представљају решење оригиналне једначине четвртог степена.
Решавање сведене једначине четвртог степена када је ≠ 0 Након претварања у сведену једначину четвртог степена
и искључивања специјалног случаја = 0, који се решава као биквадратна једначина, од сада па надаље претпостављамо да је
Раздвојићемо чланове на леву и десну страну на следећи начин
и додати чланове на обе стране који ће их обе претворити у савршене квадрате.
Нека је било које решење ове кубне једначине:
Тада (пошто је ≠ 0)
тако да можемо поделити са њим, чиме добијамо
Затим
Одузимањем, добијамо разлику квадрата која је једнака производу збира и разлике њихових корена
што се може решити применом формуле за квадратну једначину на сваки од два фактора. Дакле, могуће вредности за су:
или
Коришћење другог од преосталих корена кубне једначине једноставно доводи до тога да се ове исте четири вредности за појаве у другачијем редоследу. Решења кубне једначине су:
користећи било који од три могућа кубна корена. Мудра стратегија је одабрати знак квадратног корена који чини апсолутну вредност од што је могуће већом.
Фераријево решење Алтернативно, сведена једначина четвртог степена се може решити методом коју је открио Лодовико Ферари. Након што се добије сведена једначина четвртог степена, следећи корак је додавање важећег идентитета
у једначину (), чиме се добија
Ефекат овога је паковање члана u4 у савршен квадрат: (u2 + a)2. Други члан, au2, није нестао, али му је промењен знак и премештен је на десну страну.
Следећи корак је убацивање променљиве y у савршен квадрат на левој страни једначине (), и одговарајуће 2y у коефицијент уз u2 на десној страници. Да би се ове инсерције извеле, следеће важеће формуле ће бити додате једначини (),
и
Ове две формуле, сабране заједно, дају
што додато једначини () даје
Ово је еквивалентно са
Циљ је сада изабрати вредност за y такву да десна страна једначине () постане савршен квадрат. Ово се може постићи тако што се дискриминанта квадратне функције изједначи са нулом. Да би се ово објаснило, прво треба развити савршен квадрат тако да буде једнак квадратној функцији:
Квадратна функција на десној страни има три коефицијента. Може се потврдити да квадрирање другог коефицијента и затим одузимање четвороструког производа првог и трећег коефицијента даје нулу:
Према томе, да би десна страна једначине () постала савршен квадрат, мора се решити следећа једначина:
Множењем бинома полиномом,
Дељењем обе стране са −4 и пребацивањем −b2/4 на десну страну,
Дељењем обе стране са 2,
Ово је кубна једначина по y. Решити једначину по y коришћењем било ког метода за решавање таквих једначина (нпр. претварање у сведену кубну једначину и примена Карданове формуле). Било који од три могућа корена ће послужити.
Паковање другог савршеног квадрата Са тако одабраном вредношћу за , сада је познато да је десна страна једначине () савршен квадрат облика
(Ово је тачно за оба знака квадратног корена, све док се исти знак узима за оба квадратна корена. Знак ± је сувишан, јер би био апсорбован од стране другог ± неколико једначина ниже на овој страници.) тако да се може спаковати:
Напомена: Ако је онда је . Ако је онда би ово била биквадратна једначина, коју смо раније решили. Према томе, једначина () постаје
Једначина () има пар спакованих савршених квадрата, по један на свакој страни једначине. Два савршена квадрата балансирају један другог.
Ако су два квадрата једнака, онда су и странице та два квадрата такође једнаке, као што је приказано са:
Груписањем сличних степена променљиве добија се
Напомена: Индекс код и служи да означи њихову зависност. Једначина () је квадратна једначина по . Њено решење је
Поједностављивањем добија се
Ово је решење сведене једначине четвртог степена, стога су решења оригиналне једначине четвртог степена
Упамтите: Два знака потичу са истог места у једначини (), и оба би требало да имају исти знак, док је знак независан.
Резиме Фераријевог метода За дату једначину четвртог степена
њено решење се може наћи помоћу следећих прорачуна:
Ако је онда
У супротном, наставите са
(било који знак квадратног корена ће послужити)
(постоје 3 комплексна корена, било који од њих ће послужити)
Два знака ±s морају имати исти знак, знак ±t је независан. Да би се добили сви корени, израчунајте x за (±s,±t) = (+,+); (+,−); (−,+); (−,−). Ова формула решава поновљене корене без проблема.
Ферари је први открио једно од ових лавиринтских решења. Једначина коју је он решио била је
која је већ била у сведеном облику. Она има пар решења која се могу наћи коришћењем скупа формула приказаних изнад.
Фераријево решење у специјалном случају реалних коефицијената
Ако су коефицијенти једначине четвртог степена реални, онда угнежђена сведена кубна једначина () такође има реалне коефицијенте, те стога има барем један реалан корен.
Поред тога, кубна функција
где су P и Q дати изразом () има својства да је и
где су и дати изразом ().
Ово значи да једначина () има реалан корен већи од , и стога да једначина () има реалан корен већи од .
Коришћењем овог корена, члан у изразу () је увек реалан,