Математичка физика обухвата развој математичких метода за примену у физици и њихове примене.Дефиниција из часописа Journal of Mathematical Physics. Шира дефиниција обухвата и развој математичких идеја инспирисаних физиком, познатих као физичка математика.
Опсег Постоји неколико различитих грана математичке физике, и оне грубо одговарају одређеним историјским периодима нашег света.
Класична механика
Примена техника математичке физике на класичну механику типично укључује ригорозну, апстрактну и напредну реформулацију Њутнове механике у оквирима Лагранжеве механике и Хамилтонове механике (укључујући оба приступа у присуству ограничења). Оба приступа су отелотворена у аналитичкој механици и воде до разумевања дубоке интеракције између појмова симетрије и очуваних величина током динамичке еволуције механичких система, као што је отелотворено у најелементарнијој формулацији Нетерине теореме. Ови приступи и идеје су проширени на друге области физике, као што су статистичка механика, механика непрекидних средина, класична теорија поља и квантна теорија поља. Штавише, они су пружили вишеструке примере и идеје у диференцијалној геометрији (нпр. неколико појмова у симплектичкој геометрији и векторским свежњевима).
Парцијалне диференцијалне једначине
Унутар саме математике, теорија парцијалних диференцијалних једначина, варијациони рачун, Фуријеова анализа, теорија потенцијала и векторска анализа су можда најближе повезане са математичком физиком. Ове области су се интензивно развијале од друге половине 18. века (од стране, на пример, д'Аламбера, Ојлера и Лагранжа) све до 1930-их. Физичке примене ових открића укључују хидродинамику, небеску механику, механику непрекидних средина, теорију еластичности, акустику, термодинамику, електрицитет, магнетизам и аеродинамику.
Квантна теорија
300px|мини|десно|Пример математичке физике: решења Шредингерове једначине за квантне хармонијске осцилаторе (лево) са њиховим амплитудама вероватноће (десно). Теорија атомских спектара (и касније, квантна механика) развијала се готово истовремено са неким деловима математичких области линеарне алгебре, спектралне теорије оператора, операторских алгебри и, шире, функционалне анализе. Нерелативистичка квантна механика укључује Шредингерове операторе и има везе са атомском и молекуларном физиком. Теорија квантних информација је још једна специјалност.
Релативност и квантне релативистичке теорије
Специјална и општа теорија релативности захтевају прилично другачији тип математике. То је била теорија група, која је одиграла важну улогу како у квантној теорији поља тако и у диференцијалној геометрији. Ово је, међутим, постепено допуњено топологијом и функционалном анализом у математичком опису космолошких феномена, као и појава у квантној теорији поља. У математичком опису ових физичких области, неки концепти у хомолошкој алгебри и теорији категорија су такође важни.
Статистичка механика
Статистичка механика чини засебну област, која укључује теорију фазних прелаза. Она се ослања на Хамилтонову механику (или њену квантну верзију) и уско је повезана са више математичком ергодичком теоријом и неким деловима теорије вероватноће. Постоје све веће интеракције између комбинаторике и физике, посебно статистичке физике.
Употреба мини|Однос између математике и физике Употреба термина „математичка физика” је понекад идиосинкратична. Одређени делови математике који су првобитно настали из развоја физике се заправо не сматрају деловима математичке физике, док друга блиско сродна поља то јесу. На пример, обичне диференцијалне једначине и симплектичка геометрија се генерално посматрају као чисто математичке дисциплине, док динамички системи и Хамилтонова механика припадају математичкој физици. Џон Херапат је користио овај термин за наслов свог текста из 1847. године о „математичким принципима природне филозофије”, чији је опсег у то време био „узроци топлоте, гасовита еластичност, гравитација и друге велике појаве природе”.Џон Херапат (1847) Mathematical Physics; or, the Mathematical Principles of Natural Philosophy, the causes of heat, gaseous elasticity, gravitation, and other great phenomena of nature, Whittaker and company via HathiTrust
Математичка наспрам теоријске физике Термин „математичка физика” се понекад користи за означавање истраживања која имају за циљ проучавање и решавање проблема у физици или мисаоних експеримената унутар математички ригорозног оквира. У овом смислу, математичка физика покрива веома широку академску област која се истиче само спајањем неког математичког аспекта и аспекта теоријске физике. Иако је повезана са теоријском физиком,Цитирано: „... негативна дефиниција теоретичара односи се на његову неспособност да врши физичке експерименте, док позитивна... подразумева његово енциклопедијско знање о физици у комбинацији са поседовањем довољно математичког наоружања. У зависности од односа ове две компоненте, теоретичар може бити ближи експериментатору или математичару. У овом другом случају, он се обично сматра стручњаком за математичку физику.”, Ја. Френкел, како је пренео А. Т. Филипов, The Versatile Soliton, стр. 131. Birkhauser, 2000. математичка физика у овом смислу наглашава математичку ригорозност сличног типа какав се налази у математици.
С друге стране, теоријска физика наглашава везе са посматрањима и експерименталном физиком, што често захтева од теоријских физичара (и математичких физичара у општијем смислу) да користе хеуристичке, интуитивне или приближне аргументе.Цитирано: „Физичка теорија је нешто попут одела сашивеног за Природу. Добра теорија је као добро одело. ... Стога је теоретичар попут кројача.” Ја. Френкел, како је пренео Филипов (2000), Такви аргументи се не сматрају ригорозним од стране математичара.
Овакви математички физичари првенствено проширују и разјашњавају физичке теорије. Због захтеваног нивоа математичке ригорозности, ови истраживачи се често баве питањима за која су теоријски физичари сматрали да су већ решена. Међутим, они понекад могу показати да је претходно решење било непотпуно, нетачно или једноставно превише наивно. Питања око покушаја да се изведе други закон термодинамике из статистичке механике су примери. Други примери се тичу суптилности укључених у процедуре синхронизације у специјалној и општој релативности (Сањаков ефекат и Ајнштајнова синхронизација).
Напор да се физичке теорије поставе на математички ригорозне основе не само да је развио физику већ је утицао и на развој неких математичких области. На пример, развој квантне механике и неки аспекти функционалне анализе иду паралелно на много начина. Математичко проучавање квантне механике, квантне теорије поља и квантне статистичке механике мотивисало је резултате у операторским алгебрама. Покушај да се конструише ригорозна математичка формулација квантне теорије поља такође је донео одређени напредак у областима као што је теорија репрезентације.
Истакнути математички физичари
Пре Њутна Постоји традиција математичке анализе природе која сеже до старих Грка; примери укључују Еуклида (Оптика), Архимеда (О равнотежи равни, О плутајућим телима) и Птолемеја (Оптика, Хармоника). Касније су исламски и византијски научници надоградили ове радове, и они су на крају поново уведени или постали доступни Западу у 12. веку и током ренесансе. мини|Кеплерова три закона орбиталног кретања У првој деценији 16. века, астроном аматер Никола Коперник је предложио хелиоцентризам и објавио расправу о томе 1543. године. Он је задржао Птолемејеву идеју о епициклима, и само је настојао да поједностави астрономију конструисањем једноставнијих скупова епицикличних орбита. Епицикли се састоје од кругова на круговима. Према Аристотеловој физици, круг је био савршени облик кретања, и био је интринзично кретање Аристотеловог петог елемента — квинтесенције или универзалне есенције познате на грчком као етар — што је била чиста супстанца изван сублунарне сфере, и тако је била чиста композиција небеских ентитета. Немац Јохан Кеплер (1571–1630), асистент Тиха Брахеа, модификовао је Коперникове орбите у елипсе, формализоване у једначинама Кеплерових закона планетарног кретања.
Ентузијастични атомиста, Галилео Галилеј у својој књизи из 1623. године The Assayer тврди да је „књига природе написана језиком математике”.Peter Machamer "Galileo Galilei"—sec 1 "Brief biography", in Zalta EN, ed, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2010 edn Његова књига из 1632. године, о његовим телескопским посматрањима, подржала је хелиоцентризам.Antony G Flew, Dictionary of Philosophy, rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p 129 Користећи експериментисање, Галилео је затим оповргао геоцентричну космологију оповргавајући саму Аристотелову физику. Галилејева књига из 1638. године Дискурс о две нове науке успоставила је закон једнаког слободног пада као и принципе инерцијалног кретања, два централна концепта онога што је данас познато као класична механика. Према Галилејевом закону инерције као и принципу Галилејеве инваријантности, такође назване Галилејева релативност, за сваки објекат који доживљава инерцију, постоји емпиријско оправдање за сазнање само да је у релативном мировању или релативном кретању — мировању или кретању у односу на други објекат.
Рене Декарт је развио комплетан систем хелиоцентричне космологије укотвљен на принципу вртложног кретања, картезијанску физику, чије је широко прихватање помогло да дође до пропасти Аристотелове физике. Декарт је користио математичко расуђивање као модел за науку и развио је аналитичку геометрију, која је временом омогућила исцртавање локација у 3Д простору (Декартове координате) и означавање њихових прогресија дуж тока времена.Antony G Flew, Dictionary of Philosophy, rev 2nd edn (New York: St Martin's Press, 1984), p 89
Кристијан Хајгенс, талентовани математичар и физичар и старији Њутнов савременик, био је први који је успешно идеализовао физички проблем скупом математичких параметара у делу Horologium Oscillatorium (1673) и први који је у потпуности математизовао механистичко објашњење невидљивог физичког феномена у делу Трактат о светлости (1690). Стога се сматра претечом теоријске физике и једним од оснивача модерне математичке физике.Dijksterhuis, F. J. (2008). Stevin, Huygens and the Dutch republic. Nieuw archief voor wiskunde, 5, pp. 100–107. https://research.utwente.nl/files/6673130/Dijksterhuis_naw5-2008-09-2-100.pdfAndreessen, C.D. (2005) Huygens: The Man Behind the Principle. Cambridge University Press: 6
Њутновска и пост-њутновска физика Преовлађујући оквир за науку у 16. и раном 17. веку био је онај позајмљен из старогрчке математике, где су геометријски облици чинили градивне блокове за описивање и размишљање о простору, а време се често сматрало засебним ентитетом. Увођењем алгебре у геометрију, а са њом и идеје о координатном систему, простор и време су сада могли да се посматрају као осе које припадају истој равни. Овај суштински математички оквир налази се у основи све модерне физике и користи се у свим даљим математичким оквирима развијеним у наредним вековима. мини|Анимација за Њутнову теорему љуске