thumb|right|320px|Еулеров дијаграм за врсте троуглова. Троугао је многоугао са три странице. Три тачке где се странице (дужи) равни пресецају зову се темена. Троуглови се у математици понекад идентификују набрајањем њихових темена. На пример, троугао ABC. Тригонометрија је област геометрије и математике која се бави троугловима.
Троугао је у геометрији, и посебно у планиметрији, затворена изломљена линија састављена од три дужи, или је то део равни ограничен са три дужи. Другим речима: Праволинијски троугао (једнодимензионалан) чине три тачке које не леже на једној правој и три дужи са крајевима у тим тачкама. Троугао је многоугао са најмањим бројем страница.
У Еуклидској геометрији било које три неколинеарне тачке једнозначно одређују троугао.
Основни појмови
Дужи које повезују по две од три дате неколинеарне тачке -{A, B}- и -{C}-, називају се страницама троугла, а те три тачке његовим теменима. Угловима, тачније унутрашњим угловима, троугла називају се три угла које граде полуправе из темена, а које пролазе кроз остала два темена.
У зависности од страница, троуглови се деле на: разностраничне - све три странице су различитих дужина; једнакокраке - две странице су једнаке; једнакостраничне или правилне - све странице су једнаке, па су и сви углови једнаки.
једнакостранични троугао једнакокраки троугао разностранични троугао једнакостраничниједнакокракиразностранични
У зависности од углова, троуглови се деле на: оштроугле - сва три угла су оштри (мањи од 90 степени); правоугле - један од углова је прав (90°) и; тупоугле - један угао је туп (већи од 90°).
100п|правоугли троугао тупоугли троугао оштроугли троугао правоуглитупоуглиоштроугли
Троугао са теменима -{A, B, C}- симболички се означава или са итд, шест ознака једног троугла. Странице и углови троугла називају се основним елементима троугла. Једнодимензиони троугао понекад се назива контурни или скелетни. Троугао дели раван на две области од којих је једна испупчена (конвексна) а друга неиспупчена (удубљена, или конкавна). Тачке испупчене области називају се унутрашњим тачкама троугла, тачке неиспупчене области спољашњим. Често се под троуглом (дводимензионалним) подразумева троугао (једнодимензионални) заједно са унутрашњим тачкама. Понекад се дводимензионални троугао назива компактним, непрекидним, или плочастим. Једнодимензионални (контурни) и дводимензионални (компактни) троуглови имају тежиште, први у пресеку бисектриса, други у пресеку медијана. Када је троугао једнакостраничан, тада се тежишта једнодимензионалног и дводимензионалног троугла поклапају. Обично је из контекста јасно о којем троуглу је реч, на пример, када се говори о површини троугла тада се подразумева дводимензионални троугао, троугаона плоча.
Збир углова у троуглу једнак је испруженом углу (180 степени, тј. пи радијана), у геометрији Еуклида, мањи је од тога и променљив у геометрији Лобачевског, односно већи је до испруженог, али је мањи од три испружена угла (540°, тј. 3π) у геометрији Римана.
Познате теореме о зависности страна и углова у троуглу (наспрам једнаких страна леже једнаки углови, итд.) тачне су и у апсолутној геометрији, међутим, низ особина троугла равни Лобачевског разликује се од особина троугла равни Еуклида. На пример, у равни Лобачевског постоје троуглови око којих се не може описати кружница; ако су три угла једног троугла једнака трима угловима другог троугла тада су ти троуглови подударни, једнаки, тј. у геометрији Лобачевског не постоје слични а неједнаки троуглови.
Сродни појмови Криволинијски троугао је скуп три тачке -{A, B, C}-, које не леже на једној правој, повезани између себе луковима кривих линија и деловима правих које леже у равни одређеној тачкама -{A, B, C}-. На пример, кружни исечак је криволинијски троугао. Тротеменик је троугао пројективне геометрије. Сферни троугао. Паскалов троугао, троугао Паскала, или аритметички троугао. Троугаони бројеви.
Пашова аксиома
Хилбертове аксиоме елементарне геометрије садрже аксиоме распореда (2. група аксиома), међу којима је најважнија мини|Пашова аксиома Пашова аксиома Ако су -{A, B}- и -{C}- три неколинеарне тачке, -{D}- тачка између A и -{B}- и у равни -{ABC}- права -{p}-, која садржи тачку -{D}- и не садржи ни једну од тачака -{A, B, C}-, тада на правој -{p}- постоји тачка E, таква да је -{B-E-C}- или -{A-E-C}-, тј. Е је између -{B}- и -{C}- или је између A и -{C}-.
Тврђење Пашове аксиоме је опширно, али очигледно. Ако права улази у троугао, она мора и изаћи из троугла. Реч је, дакле, о већ по себи важној особини троуглова, али и о следећој последици.
Теорема 1 Ако су А и -{B}- две различите тачке, тада постоји тачка -{С}- између А и -{B}-.
мини|Тачка -{С}- између две дате тачке Доказ Позивамо се на Хилбертову аксиому везе (припадања): свака права садржи најмање две различите тачке; постоје три неколинеарне тачке. Затим се позивамо на Хилбертову аксиому распореда: ако су -{B}- и -{D}- две разне тачке тада постоји тачка Е, таква да је -{B-D-E}-. На Пашову аксиому и користимо слику десно. Дакле, постоји тачка -{D}-, таква да су A, -{B, D}- неколинеарне тачке (аксиома везе). Затим, постоји тачка Е таква да је -{B-D-E}- (аксиома распореда), и слично, на правој -{АЕ}- постоји тачка -{F}-, таква да је -{A-E-F}-. Сада су A, -{B}- и E три три неколинеарне тачке и (Пашова аксиома) права -{FD}- пролази кроз тачку -{С}- такву да је -{A-C-B}-. Крај доказа.
Примењујући ову теорему даље на тачке A, -{C}- итд. показује се да је између произвољних тачака могуће уметање бесконачно много нових тачака. Страница троугла има бесконачно много тачака.
Подударност троуглова
Два троугла -{ABC}- и A1B1C1 су подударна ако постоји изометрија која први преводи на други. Другим речима, два троугла су подударна када имају једнаке одговарајуће странице, једнаке углове, тежишнице, висине, итд. Тада пишемо
Површина троугла, и многоугла, је позитивно оријентисана када се крећемо од темена до темена -{ABCDE}-... по многоугаоној линији, лексикографским поретком, и при томе нам је област многоугла увек са леве стране. Дакле, позитиван смер обилажења троугла је обрнут смеру казаљке на сату. Странице супротне теменима A, -{B, C}- троугла обично означавамо малим словима a, -{b, c}-. Углове у тим теменима означавамо грчким малим словима α, β, γ. Према томе, претходна подударност може се написати и овако:
Да би се доказала подударност два троугла није потребно доказивати подударност (једнакост) свих страница и свих углова тих троуглова, довољне су само три једнакости. Довољна су следећа четири става: ССС: Два троугла су подударна ако и само ако су странице једног троугла једнаке одговарајућим страницама другог. СУС: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице једног троугла и угао захваћен њима једнаки одговарајућим страницама и углу другог троугла. УСУ: Два троугла су подударна ако и само ако имају једнаку по једну страницу и оба одговарајућа угла налегла на ту страницу. ССУ: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице и угао наспрам веће од њих у једном троуглу једнаки са две одговарајуће странице и углом другог.
мини|лево|Став ССУ Последњи став се може изрећи и овако: Два троугла су подударна ако и само ако су две странице и угао наспрам једне од њих у једном троуглу једнаки са две одговарајуће странице и углом другог, а оба троугла су исте врсте, тј. оба су оштра, правоугла, или тупоугла. Међутим, без додатка да је угао наспрам веће стране, или да су оба троугла исте врсте, имали бисмо ситуацију као на слици лево. Троуглови -{AB}-1C и -{AB}-2C су очигледно различити (разликују се за троугао -{B}-1B2C), али оба имају једнаке по две стране и угао: a, -{b}-, α.
Често је лакше доказати подударност неких троуглова него многоуглова, па и страница на некој геометријској фигури. Зато је подударност троуглова веома важна у геометрији.
Углови и странице
Теорема 2 Наспрам једнаких страница троугла налазе се једнаки углови, и обрнуто, наспрам једнаких углова су једнаке странице. Доказ Дат је троугао -{ABC}-. Нека је -{AC = BC}-. Тада је и -{BC = AC}-, па како је -{AB = BA}- то из става подударности ССС следи Дакле Обрнуто, ако је тада према ставу УСУ следи подударност троуглова -{ABC}- и -{BAC}-, а отуда једнакост страница -{AC}- и -{BC}-. Крај доказа.
мини|Једнакокраки троугао Троугао који има две једнаке странице назива се једнакокраки троугао, а она трећа страница се тада назива основица. Дакле, једнакокраки троугао на основици има једнаке углове. Када су све три странице троугла једнаке, троугао се назива једнакостраничан. Код једнакостраничног троугла, према истој теореми (2), сва три унутрашња угла су једнака. Медијана троугла је дуж која спаја врх са средином супротне странице троугла. Права која садржи медијану назива се тежишна линија троугла, а код нас се понекад тежишна линија сматра исто што и медијана. Висина троугла је дуж која спаја врх са најближом тачком на супротној страници троугла. Висина је нормална на супротну страницу троугла. На крају, подсетимо се да је прав угао (90°), по дефиницији онај угао који је једнак свом напоредном (суплементном) углу. Теорема 3 Тежишна линија која одговара основици једнакокраког троугла истовремено представља висину на основицу и симетралу угла код врха.
Доказ Нека је -{CD}- тежишна линија једнакокраког троугла -{ABC}-, где је -{AC = BC}-, као на слици десно. По претпоставци је -{AD = BD}-, а свакако је -{CD = CD}-, па су троуглови -{ACD}- и -{BCD}- подударни по ставу ССС. Отуда па је права -{CD}- симетрала угла -{ACB}-. Затим, из то су два напоредна угла, што значи да су они прави, те да је -{CD}- висина. Крај доказа.
Слично бисмо доказали и следеће тврђење: Симетрала угла наспрам основице једнакокраког троугла нормална је на основицу.
мини|Наспрам веће стране је већи угао троугла Теорема 4 Наспрам веће стране троугла налази се већи угао и обратно, наспрам већег угла троугла налази се већа страница.
Доказ Као на слици десно, нека је -{a > b}-. Одредимо на страници а тачку -{D}-, тако да је -{CD = b}-. Троугао -{ACD}- је једнакокрак, па су углови -{CAD}- и -{CDA}- једнаки, рецимо φ. Тачка -{D}- је између -{B}- и -{C}-, па је крак -{AD}- угла -{CAD}- у углу α, те је α > φ. Међутим, у троуглу -{ABD}- угао φ је спољашњи, па је φ>β. Из тога следи α>β. Обрнуто, нека је α>β. Тада не може бити -{a = b}-, јер би према претходној теореми (2) морало бити α = β, а не може бити ни -{a < b}-, јер би према претходном доказу морало бити β>α, што је супротно са претпоставком. Дакле једино могуће је -{a > b}-. Крај доказа.
Примењена на правоугли троугао, ова теорема каже да је највећа страница наспрам правог угла. Она се назива хипотенуза. Остале две странице, које су међусобно нормалне, називају се катете правоуглог троугла.
Неједнакост троугла
Теорема 5 (О неједнакости троугла) Било која страница троугла мања је од збира остале две. Еквивалентно је разлика две странице троугла увек мања од треће.
мини|Неједнакост троугла Доказ Дат је троугао ABC као на слици. Тачка D је на продужетку праве -{AC}-, са стане -{С}-, и -{CD = CB = a}-. Тада је -{AD = b + а}-. Троугао -{BCD}- је једнакокрак, па је рецимо φ. Углови у темену -{B}- су суседни те је па у троуглу -{ABD}- имамо и на основу претходне теореме следи -{AD > AB}-, тј. -{b + a > c}-. Слично се доказује да је -{a + c > b}-, и -{b + c > a}-. Даље, нека је, на пример, -{c}- ≥ -{b}- ≥ -{a}-. Тада из већ доказаних неједнакости за збир страница, из -{a + b > c}- следи -{b > c - a}- и -{a > c - b}-, а из -{a + c > b}- следи -{c > b - a}-. Крај доказа.
За произвољне три тачке -{A, B, C}- увек важи Та неједнакост троугла због своје очигледности у неким областима математике, или примене, се узима за полазну тврдњу (аксиом).
Значајне тачке троугла