Давид Хилберт (; Вехлау код Кенигсберга, 23. јануар 1862 — Гетинген, 14. фебруар 1943) је био немачки математичар који је дао важан допринос у неколико грана математике.

Хилберт је 1888. поопштио једну важну Жорданову теорему на системе вишег реда, да би 1899. године објавио своје Основе геометрије (-{Grundlagen der Geometrie}-) у којима је ту тему, коначно, поставио на строге аксиоматске основе (в. Хилбертове аксиоме). Он је такође показао да је геометрија једнако конзистентна као аритметика реалних бројева. Године 1900. Хилберт је поставио део од 23 проблема као изазов математичарима 20. века; решења или некакав напредак је учињен за око три четвртине њих.

Касније се Хилберт посветио раду на теоријској физици и основама математике. Развијао је математички формализам што га је довело до дела Основе математике (-{Grundlagen der Mathematik}-, 1934—1939.), заједно са Паулом Бернајсом. Други радови Хилберта укључују његов доказ Варинговог проблема, тј. претпоставке коју је поставио Варинг 1770, а прво потпуно решење је пронашао Хилберт 1909, затим развој тзв. Хилбертовог простора и допринос у проучавању интегралних једначина и алгебарске теорије бројева.

Животопис Давида Хилберта мини|180п|Млади Хилберт Хилберт је био једини син Ота и Марије Терезе (Ердтман) Хилберт, рођен у -{Wehlau}- (Знаменск) крај Калињинграда у тадашњој Пруској.; also on pp. 8, Reid notes that there is some ambiguity as to exactly where Hilbert was born. Hilbert himself stated that he was born in Königsberg. У јесен 1872. уписује Фридрихсколег гимназију (исту школу коју је 140 година пре њега похађао Имануел Кант),Richard Zach, "Hilbert's Program", The Stanford Encyclopedia of Philosophy. али се 1879. пребацио и 1880. завршио научну оријентисанију гимназију у Вилхелму. У јесен исте године уписује факултет у Кенигсбергу. Тамо се спријатељио са талентованим Херманом Минковским.

Године 1884, Адолф Хурвитц, са факултета у Гетингену, постаје ванредни професор на факултету у Кенигсбергу. Од тада њихова међусобна размена научних идеја има значајан утицај на њихове научне каријере. Хилберт је докторирао 1885. године, са дисертацијом „О непромењивим својствима посебних бинарних форми, са нагласком на сферне хармонијске функције“ (нем. -{Über invariante Eigenschaften spezieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunktionen}-).

На истом факултету остаје као професор од 1886. до 1895. године. Оженио се 1892. са Кети Јерош с којом је имао једног сина. Године 1895, на наговор Феликса Клејна долази на позицију шефа катедре за математику на факултету у Гетингену, у то време најбољем центру за научна истраживања у подручју математике на свету, где остаје до пензионисања 1930. године. Његов најбољи пријатељ, Минкоwски умире 1909. године.

Гетингенска школа мини|180п|Хилбертов гроб с натписом Међу Хилбертовим ученицима били су: Херман Вајл, шаховски првак Емануел Ласкер, Ернст Зермело, Карл Густав Хемпел и касније познати математичари: Ото Блументал (1898), Феликс Бернстајн (1901), Херман Вајл (1908), Ричард Курант (1910), Ерих Хек (1910), Хјуго Стајнхаус (1911), Вилхелм Акерман (1925). На факултету је окружен с некима од најзначајнијих математичара 20. века, као што су Еми Нетер и Алонзо Черч. Између 1902. и 1939. Хилберт је уредник -{„Mathematische Annalen“}-, водећег математичког часописа тога времена.

Касније године живота Хилберт је доживео нацистичке прогоне многих уважених чланова факултета 1933. године, међу њима и Хермана Вајл, који га је наследио на катедри након пензионисања 1930. године. (Hilbert's colleagues exiled) Немачку је морао напустити и Паул Бернајс, његов сарадник на подручју математичке логике и коаутор значајне књиге -{Die Grundlagen der Mathematik}- (издане 1934. и 1939. године). То је био наставак књиге Хилберта и Акермана Начела теоријске логике из 1928. године. До Хилбертове смрти 1943. године, нацисти су отерали већину научника са факултета тако да је његовом спроводу присуствовала само неколицина академика.

На његовом споменику у Гетингену, пише:

Ми морамо знати. Ми ћемо знати.

Хилбертова основна теорема Хилбертов први рад на непроменљивим функцијама довео га је 1888. до познатог теорема коначности. Двадесет година раније, Паул Гордан је демонстрирао теорем о коначности генератора бинарних облика користећи врло компликоване прорачуне који су онемогућили поопштавање самог метода на функције са више од две варијабле. Хилберт је уочио потребу сасвим другачијег приступа. Као резултат демонстрирао је „Хилбертов основни теорем“ који показује постојање коначног скупа генератора независно од броја променљивих, у апстрактном облику.

Хилбертова основна теорема каже да ако је -{k}- polje, тада је сваки идеал у прстену састављеном од више варијабилних полинома, -{k[x1, x2, ..., xn]}- коначно генерисан. С гледишта алгебарске геометрије, алгебарски скуп над -{k}- може бити описан као заједнички скуп решења коначно много полиномијалних једначина.

Хилберт је дошао до доказа контрадикцијом користећи се математичком индукцијом. Његова метода не даје алгоритам који ће произвести коначно много основних полинома за дати идеал, него само показује њихово постојање.

Једноставнија верзија Хилбертовог основног теорема каже: ако је -{R}- леви (односно десни) Нетеров прстен, тада полиномијални прстен -{R[X]}- је исто леви (односно десни) Нетеров прстен.

Ако је, -{an ≠ 0}-, тада -{degf: = n}- и -{an}- је водећи коефицијент од -{f}-. Нека -{I}- буде идеал у -{R[x]}- и претпоставимо да -{I}- није коначно генерисан. Тада индуктивно конструисани низ -{f1,f2,...}- елемената од -{I}- такав да -{fi + 1}- има минималан ступањ међу елементима од, где је -{Ji}- идеал генерисан од -{f1,...,fi}-.

Нека је -{ai}- водећи коефицијент од -{fi}- и нека је -{J}- идеал од -{R}- генерисан од низа -{a1,a2,....}- Пошто је -{R}- Нетеријан постоји -{N}- такав да је -{J}- генерисан од -{a1,...,aN}-. Због тога за неке случајеве постиже контрадикција, ако се зна где је -{ni = degfN + 1 − degfi}-, због -{degg = degfN + 1}- и њихови водећи коефицијенти одговарају, тако да је -{fN + 1 − g}- строго мањег ступња од -{degfN + 1}-, а то је у контрадикцији са избором -{fN + 1}-. На тај начин добија се да је -{I}- коначно генерисан. Пошто је за -{I}- узет произвољан идеал у -{R[x]}-, сваки идеал у -{R[x]}- је коначно генерисан и следи да је -{R[x]}- Нетеријан.

То је био доказ постојања коначног скупа генератора, а не прорачун и ослањао се на закон ексклузивне средине у бесконачности. Објављивање тог рада у -{Mathematische Annalen}- је одбијено с разлогом да није свеобухватан и потпун, те да се уопште не ради о математици. Хилберт у следећем чланку, који опет шаље у -{Annalen}-, проширио своју методу дајући прорачуне о максималном ступњу минималног сета генератора. Тај рад је оцењен као најзначајније дело у подручју опште алгебре које је часопис икада објавио.

Аксиоматизација геометрије У тексту Основе геометрије () коју објављује 1899. Хилберт предлаже сет тзв. Хилбертових аксиома којима замењује традиционалне Еуклидове аксиоме. Ти аксиоми исправљају слабости уочене код Еуклидових аксиома који су се до тада користили дословце као што су написани. Независно од Хилберта деветнаестогодишњи студент Роберт Ли Мур је објавио једнаки сет аксиома. Неки од њих се подударају а неки одговарају теоремима у Хилбертовом сету и обрнуто. Хилбертов приступ означио је пребацивање на модерну аксиоматску методу. Аксиоми се више не узимају као истинити сами по себи.

Геометрија може да третира ствари, о којима имамо снажну интуицију, али није нужно да се припише експлицитно значење недефинисаним концептима. Елементи као што су: тачка, дужина, раван и остали могу се заменити, као што је Хилберт рекао столовима, столицама, чашама пива и осталим таквим објектима. Битан је само њихов дефинисани однос.

Хилберт први означава недефинисане концепте: тачка, линија, раван, лежи на (однос између тачака и линија, тачака и равни, и линија и равни), између конгруенције парова тачака и конгруенција углова. Аксиоми уједињавају геометрију равни и геометрију простора у један систем.

Хилбертова 23 проблема Хилберт је презентирао, у облику говора „Проблеми математике“, листу нерешених проблема на интернационалном конгресу математичара у Паризу 1900. године, коју је касније проширио на 23 проблема. Тим говором је желио да заокружи математички јако успешни 19. век и предвиди развој математике у будућности. Том приликом је рекао:

„Ако верујем у развој математичког знања у блиској будућности, морамо се позабавити недовршеним питањима и решити проблеме које задаје данашња наука, а чија решења очекујемо. Знамо да сваки век носи своје проблеме које следећи век рјешава или замјењује новим. Крај сјајне епохе позива нас да се осврнемо на прошлост, али и да погледамо у непознату будућност.“

Хилберт је сматрао да су два највећа достигнућа у претходном веку: развој аритметике континуума, којој су допринели Коши, Болкано и Кантор, и прихваћање нееуклидске геометрије Гауса, Бољаја и Лобачевског.

Његови проблеми су јако различити. Неки су толико опширни да представљају цела подручја која треба истражити. Други су пак пуно конкретнији и решени су јако брзо. Има и оних који су решени супротно Хилбертовим очекивањима, али и оних о којима се и данас јако мало зна.

Хилберт је проблеме поделио у четири групе. У првој се налази шест основних проблема, других шест се односи на његово истраживање теорије бројева, трећа група од шест проблема представља мешавину алгебарских и геометријских проблема. Последњих пет проблема одсликава Хилбертове интересе.

Сам Хилберт, као ни његови ученици, нису се превише бавили решавањем ових проблема, већ су се посветили изучавању Хилбертовог простора. Међутим, проблеми су били јако брзо прихваћени од стране младих математичара, који су своја истраживања усмерили у правцима које је Хилберт и предвидео. Значај ових проблема може се видети и у томе што је решавање било којег од њих било повод за прославе и доделе награда. Хилберт је веровао да „докле год нека грана науке нуди мноштво проблема, дотле ће и живети“ па је у том духу изложио своје проблеме.

Неколико примера проблема: Решивост Диофантове једначине Да ли је могуће развити алгоритам који ће моћи да покаже да ли се дата Диофантова једначина, са произвољно много непознатих и са рационалним коефицијентима, може решити у коначно много корака? Нпр. линеарна Диофантова једначина.

На крају се испоставило да се не може развити такав алгоритам.

Питање аксиоматизације физике Истраживањима у самим основама геометрије намеће се проблем: да ли је могуће посматрати, као аксиоме, она сазнања у физици у којима математика игра битну улогу; ту се пре свега мисли на теорију релативности и механику.G. B. Mathews (1909) The Foundations of Geometry from Nature 80:394,5 (#2066) Хилберт је сматрао да би било добро када би њихова практична сазнања била логична надоградња теорије која је заснована на усуглашеним аксиомима.

Није решен.

Проблем топологије алгебарских кривих и површина. Није решен.

Хилбертови проблеми су постали својеврсни манифест који је отворио пут развоју формалистичке школе, једне од три главне математичке школе 20. века. Према формалистима, математика је игра лишена значења у којој се игра са симболима без значења према формалним правилима који су договорени унапред. То је аутономна игра мисли. Ипак постоје сумње да је Хилбертов начин посматрања био формалистички у овом смислу.. Here:

Хилбертов програм Хилберт је 1920. предложио истраживачки пројект који је постао познат као Хилбертов програм. Желио је да се математика формулише на чврстој и потпуној логичкој подлози. Веровао је да се у принципу ово може учинити показујући: да сва математика произлази из исправно одабраног коначног система аксиома да је такав систем аксиома доказиво конзистентан кроз неке карактеристике као што је рачун епсилона