Polygontal är ett tal som representerar antalet punkter i en regelbunden polygon.

Definition och exempel Talet 10, till exempel, är ett triangeltal och kan ordnas som en triangel.

| align="center" |

Men talet 10 kan inte ordnas som en kvadrat. Talet 9, som är ett kvadrattal, kan däremot det.

| align="center" |

Talet 36, som är ett kvadrattriangulärt tal, kan ordnas både som en kvadrat och en triangel.

|- align="center" valign="bottom"

Regeln för att förstora polygonen till nästa storlek är att förlänga två närliggande armar av en punkt och sedan lägga till de nödvändiga extra sidor mellan dessa punkter. Nedan visas varje extra lager i rött.

Triangeltal 500px|none

Kvadrattal 500px|none Polygoner med högre antal sidor kan också byggas enligt denna regel.

Pentagontal 500px|none

Hexagontal 500px|none

Formler Formeln för det n:te s-gontalet P(s,n) där s är antalet sidor i en polygon är

eller

Det n:te s-gontalet är också relaterat till triangeltalen Tn enligt följande:

Således:

För ett givet s-gontal P(s,n) = x, kan man hitta n genom:

Tabell över värden s Namn Formel n Summan av reciproka OEIS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 Triangeltal ½(n²+n) 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 4 Kvadrattal n² 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 5 Pentagontal ½(3n² - n) 1 5 12 22 35 51 70 92 117 145 6 Hexagontal ½(4n² - 2n) 1 6 15 28 45 66 91 120 153 190 7 Heptagontal ½(5n² - 3n) 1 7 18 34 55 81 112 148 189 235 8 Oktogontal ½(6n² - 4n) 1 8 21 40 65 96 133 176 225 280 9 Nonagontal ½(7n² - 5n) 1 9 24 46 75 111 154 204 261 325 10 Dekagontal ½(8n² - 6n) 1 10 27 52 85 126 175 232 297 370 11 Hendekagontal ½(9n² - 7n) 1 11 30 58 95 141 196 260 333 415 12 Dodekagontal ½(10n² - 8n) 1 12 33 64 105 156 217 288 369 460 13 Tridekagontal ½(11n² - 9n) 1 13 36 70 115 171 238 316 405 505 14 Tetradekagontal ½(12n² - 10n) 1 14 39 76 125 186 259 344 441 550 15 Pentadekagontal ½(13n² - 11n) 1 15 42 82 135 201 280 372 477 595 16 Hexadekagontal ½(14n² - 12n) 1 16 45 88 145 216 301 400 513 640 17 Heptadekagontal ½(15n² - 13n) 1 17 48 94 155 231 322 428 549 685 18 Oktodekagontal ½(16n² - 14n) 1 18 51 100 165 246 343 456 585 730 19 Nonadekagontal ½(17n² - 15n) 1 19 54 106 175 261 364 484 621 775 20 Ikosagontal ½(18n² - 16n) 1 20 57 112 185 276 385 512 657 820 21 Ikosihenagontal ½(19n² - 17n) 1 21 60 118 195 291 406 540 693 865 22 Ikosidigontal ½(20n² - 18n) 1 22 63 124 205 306 427 568 729 910 23 Ikositrigontal ½(21n² - 19n) 1 23 66 130 215 321 448 596 765 955 24 Ikositetragontal ½(22n² - 20n) 1 24 69 136 225 336 469 624 801 1000 10000 Myriagontal ½(9998n² - 9996n) 1 10000 29997 59992 99985 149976 209965 279952 359937 449920

Kombinationer Vissa tal, till exempel 36 som både är ett kvadrattal och ett triangeltal, kan ordnas med fler än en polygoner. I tabellen nedan visas olika kombinationer av polygoner.

s t Tal OEIS 4 3 1, 36, 1225, 41616, … 5 3 1, 210, 40755, 7906276, … 5 4 1, 9801, 94109401, … 6 3 Alla hexagontal är även triangeltal 6 4 1, 1225, 1413721, 1631432881, … 6 5 1, 40755, 1533776805, … 7 3 1, 55, 121771, 5720653, … 7 4 1, 81, 5929, 2307361, … 7 5 1, 4347, 16701685, 64167869935, … 7 6 1, 121771, 12625478965, … 8 3 1, 21, 11781, 203841, … 8 4 1, 225, 43681, 8473921, … 8 5 1, 176, 1575425, 234631320, … 8 6 1, 11781, 113123361, … 8 7 1, 297045, 69010153345, … 9 3 1, 325, 82621, 20985481, … 9 4 1, 9, 1089, 8281, 978121, … 9 5 1, 651, 180868051, … 9 6 1, 325, 5330229625, … 9 7 1, 26884, 542041975, … 9 8 1, 631125, 286703855361, …

I vissa fall, till exempel s = 10 och t = 4, finns det inga tal i båda polygonerna förutom 1.

För fallet s = 4 och t = 3, se kvadrattriangulärt tal.

Källor

The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) Polygonal numbers at PlanetMath Weisstein, Eric W., "Polygonal Numbers", MathWorld.

Fotnoter

Kategori:Figurtal