Inom matematiken är ett multiperfekt tal (även kallat plusperfekt tal) en generalisering av perfekta tal.
För ett givet naturligt tal k, så kallas ett tal n för ett k-perfekt tal om och endast om summan av alla positiva delare av n, sigmafunktionen, σ(n), är lika med kn; ett tal är således perfekt om och endast om det är 2-perfekt. Ett tal som är k-perfekt för ett k kallas för ett multiperfekt tal. I juli 2004 var k-perfekta tal kända för varje värde på k upp till 11.
Det går att bevisa att:
För ett givet primtal p, om n är p-perfekt och p inte delar n så är pn (p + 1)-perfekt. Det innebär att ett heltal n är ett 3-perfekt tal delbart med 2 men inte med 4 om och endast om n/2 är ett udda perfekt tal, av vilka inga är kända. Om 3n är 4k-perfekt och 3 inte delar n så är det 3k-perfekt tal.
Minsta k-perfekta talen Följande tabell ger en översikt av de minsta k-perfekta talen för k ≤ 8 (inklusive dess upptäckt):
k Minsta k-perfekta tal Upptäckt 1 1 Forntiden 2 6 Forntiden 3 120 Forntiden 4 30240 René Descartes (cirka 1638) 5 14182439040 René Descartes (cirka 1638) 6 154345556085770649600 Robert Daniel Carmichael (1907) 7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 TE Mason (1911) 8 2,34111439263306338... *10^161 Paul Poulet (1929)Flammenkamp
Till exempel är 120 3-perfekt eftersom delarsumman av 120 är:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360 = 3 × 120.
Egenskaper Antalet multiperfekta tal lägre än X är för alla positiva ε.Sándor et al (2006) p.105
Specifika värden av k Perfekta tal
Ett tal n med σ(n) = 2n är perfekt.
Triperfekta tal
Ett tal n med σ(n) = 3n är triperfekt. Ett udda triperfekt tal måste överstiga 1070, ha minst 12 olika primtalsfaktorer, där den största överstiger 105.Sandor et al (2006) pp.108-109
Källor
Bokkällor
Externa länkar Multiperfekta tal Primtalsordlista: Multiperfekt tal
Kategori:Heltalsmängder