Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.
Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ: left|220px Då gäller att
Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.
Bevis Bevis med Pythagoras sats left|200px Eftersom vinkeln mellan och är rät, ger Pythagoras sats: och vilka ger:
Enligt definitionen på cosinus är: och och då får vi:
vilket om det insätts i uttrycket för ger
Bevis med avståndsformeln right|frameless En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med
Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som
och slutligen (via "trigonometriska ettan": )
Se även Areasatsen Sinussatsen Tangenssatsen Sinus Cosinus Tangens
Referenser
Kategori:Satser inom geometri Kategori:Trigonometri Kategori:Vinkel