Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.
Definition
Låt vara en icke-tom mängd och en sigma-algebra i . En funktion är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran om den besitter de två egenskaperna:
Funktionen är ett mått
Ett sannolikhetsrum är en trippel . är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.
Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, , på ett reellt tal, (sannolikheten för händelsen A).
Två händelser A och B kallas för varandras komplementhändelser om de är disjunkta och deras union är hela utfallsrummet.
Tillämpningar
Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.
Klassiska sannolikhetsrum
Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition
Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet
där och sannolikhetsmåttet är ,
där är kardinaliteten för mängden A.
Geometriska sannolikhetsrum Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition
Om är ett måttrum där kan man definiera ett sannolikhetsmått ,
Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet är en trippel .
Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.
Om , och (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.
Sannolikhetsfördelningrum
Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning
Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt vara ett sannolikhetsrum och en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är
där
dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är :s bildmått med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.
Förteckningar
Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.
Stokastisk variabel Huvudartikel: Stokastisk variabel
En stokastisk variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.
Mer precist, låt vara ett sannolikhetsrum. En funktion är en stokastisk variabel om
för alla Borelmängder
Detta innebär att en funktion är -mätbara.
Väntevärde
Huvudartikel: Väntevärde
Väntevärde för en stokastisk variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.
Mer precist, om låt vara ett sannolikhetsrum. Om är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal
.
Här är en måttintegral med avseende på måttet .
Varians och kovarians Huvudartiklar: Varians och kovarians
Man kan definiera en varians och en kovarians om man vet väntevärdet.
Variansen för ett stokastisk variabel , med , är talet
,
och kovarians mellan två stokastiska variabeler är ett tal
.
Konvergenssatser
Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.
Händelsekonvergenssatsen:
Om är händelser så är
.
Om är händelser så är
.
Fatous lemma: om är stokastiska variabler får man att
Monotona konvergenssatsen: om är stokastiska variabler med finns det och
Dominerade konvergenssatsen: om och är stokastiska variabler med för alla och finns det och
Se även
Måtteori
Kategori:Sannolikhetsteori