Modulär aritmetik, moduloräkning eller kongruensräkning är ett område inom aritmetiken, där man räknar med ett begränsat antal tal. Andra tal räknas som jämlika ("kongruenta") med ett av dessa, nämligen med det av talen som blir rest vid division med antalet tal man räknar med.
Den modulära aritmetiken används bland annat inom kryptologin.
I den modulära matematiken analyseras och används kongruensrelationen. Två tal a och b sägs vara kongruenta modulo n om n delar differensen mellan a och b, vilket för alla nollskilda n är ekvivalent med att de har samma principala rest vid division med n. Detta betecknas , och ibland även .
Talen a och b är kongruenta modulo 0 om och endast om a = b. Detta triviala slags kongruens bortser man ofta från, och förutsätter då i stället att n är nollskilt, alltså inte är lika med noll. Under det extraantagandet kan man formellt beskriva definitionen och dess grundläggande egenskaper så här: har samma rest vid division med n .
Exempel
eftersom 9 och 5 båda ger resten 1 vid division med 4.
eftersom 10 och 0 ger samma rest (0) vid division med 2.
Generaliseringar Om man låter beteckna delmängden av Z, så kan ovanstående definition formuleras . Den avgörande egenskapen hos är att den är ett ideal. Man låter ofta betyda där är ett ideal i en ring , eller allmännare Y är en delmodul av en modul X. Mängden av ekvivalensklasser till denna relation betecknas , och kallas en kvotring (respektive kvotmodul, kvotgrupp, kvotrum och så vidare).
Moduloräkning Moduloräkning (även kallat kongruensräkning) är ett område inom elementär algebra. Relationen kongruens modulo används bland annat för datoraritmetik och inom kryptering.
Två heltal a och b är kongruenta modulo n om de ger samma rest vid division med n (ett heltal som är större än eller lika med 2).
Detta betecknas . Man kan också skriva .
Om a och b inte är kongruenta modulo n, säger vi att talen är inkongruenta, vilket betecknas
Exempel , Resten kan i båda fallen bli 4 vid division med 5 , Resten kan i båda fallen bli 3 vid division med 7 , Resten blir olika vid division med 6
De fyra räknesätten Vid moduloräkning fungerar addition, subtraktion och multiplikation som vanligt. Division fungerar emellertid bara med vissa förbehåll, se exempel nedan.
Bevis Låt n vara ett positivt heltal. Antag att heltalen samt uppfyller och Per definition vet vi att och Det betyder att det finns heltal x och y sådana att
och
Nu följer
Alltså gäller , vilket betyder att
Beviset ovan bekräftar giltigheten för addition, och därmed även för subtraktion. Vidare,
(se ovan under additionsbeviset)
Och därmed Det vill säga
Detta bevisar giltigheten för multiplikation vid moduloräkning.
Exempel Addition
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Subtraktion
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Multiplikation
Om vi ersätter talen ovan med andra tal som är kongruenta med de första så får vi samma svar
Division För division fordras viss försiktighet, vilket t.ex. illustreras av att , men ; det gäller emellertid att om är heltal, och , så där är den största gemensamma delaren till och . Speciellt gäller att om , så närhelst och är relativt prima (saknar gemensamma delare större än 1).
Se även Kinesiska restklassatsen
Referenser Böcker
Externa länkar
Kategori:Matematiska relationer Kategori:Matematisk terminologi Kategori:Grundläggande algebra