Cauchys medelvärdessats är en generalisering av Lagranges medelvärdessats.
Låt f och g vara två funktioner med följande tre egenskaper. Funktionerna f och g är kontinuerliga över ett slutet intervall . Derivatorna och existerar över det öppna intervallet . Derivatan är inte lika med noll på det öppna intervallet . Då innehåller det öppna intervallet minst ett tal, , för vilket följande ekvation är sann: .
Bevis
Cauchys medelvärdessats bevisas genom att tillämpa Rolles sats på följande linjärkombination av det två funktionerna f och g: . De fakta att funktionerna f och g är kontinuerliga på det slutna intervallet och deriverbara på det öppna intervallet innebär att funktionen är kontinuerlig på det slutna intervallet och deriverbar på det öppna intervallet ; dessutom antar funktionen samma värde i intervallets ändpunkter: . Rolles sats säger då att det öppna intervallet innehåller ett tal, c, för vilket derivatan antar värdet noll: . Vi gör nu följande två observationer rörande funktionen g. Vi vet att derivatan inte är noll på det öppna intervallet vilket innebär att talet inte är lika med noll. Om funktionen g antar samma värde i intervallets ändpunkter så kan vi tillämpa Rolles sats på den, och hävda att intervallet innehåller ett tal där derivatan är lika med noll; men detta strider mot vad vi vet om funktionen g. Därför antar den inte samma värde i intervallets ändpunkter, varför differensen .
Dessa observationer låter oss dividera ekvationen med talet – som vi nu vet inte är lika med noll – för att få följande resultat: . Detta avslutar beviset av Cauchys medelvärdessats.
Kategori:Satser inom reell analys