Eulerlinjen är en rät linje inom den euklidiska plangeometrin som förbinder flera för en triangel signifikanta punkter, speciellt märks (se figur 1):
ortocentrum (orange) niopunktscirkelns mittpunkt (ljusblå) triangelns tyngdpunkt (gul) den omskrivna cirkelns medelpunkt (violett) de Longchampspunkten (röd)
Punkterna , och delar sträckan i fyra delar med proportionerna:
Punkterna , , och delar Eulerlinjen harmoniskt:
Värt att notera är att alla de ovanstående punkterna sammanfaller i en liksidig triangel. som därför saknar Eulerlinje. I en rätvinklig triangel går Eulerlinjen genom det rätvinkliga hörnetBåda kateterna är höjder och de möts ju i det rätvinkliga hörnet, vilket innebär att ortocentrum ligger i detta. och hypotenusans mittpunktEnligt Thales sats ligger den omskrivna cirkelns medelpunkt mitt på hypotenusan i en rätvinklig triangel.. Hos en likbent triangel går Eulerlinjen genom den oliklånga sidans mittpunkt och den mot denna stående olikstora vinkeln.Denna linje är ju både mittpunktsnormal till sidan och höjd genom hörnet, så både den omskrivna cirkelns medelpunkt och ortocentrum måste ligga på den.
I ett ortocentriskt system skär Eulerlinjerna till de fyra trianglarna varandra i den gemensamma niopunktscirkelns medelpunkt.
Eulerlinjen är uppkallad efter den schweiziske matematikern Leonhard Euler.
miniatyr|400px|Figur 2.
Bevis Beteckningar enligt figur 2.
Vi definierar först Eulerlinjen som den räta linje som går genom ortocentrum och den omskrivna cirkelns medelpunkt och därmed ligger dessa båda punkter såklart på linjen, vilket inte behöver visas. Att ortocentrum ligger i skärningspunkten mellan de tre höjderna (orange) genom triangelhörnen till dessas respektive motstående sidor och att den omskrivna cirkelns medelpunkt ligger i skärningspunkten mellan de tre sidornas mittpunktsnormaler (violetta) förutsättes vara bekant.
Triangelns tyngdpunkt Enligt ovan har vi således att ( betecknar "är parallell med"): , och .
Eftersom och gäller: och
Vi avsätter nu mittpunkterna på och på varav följer att: och (det vill säga att de gröna linjerna i figuren är parallella och liklånga)
Eftersom , , och så är kongruent med . och då är mittpunkt på så är:
Betrakta nu medianen till , det vill säga (gul), som skär i en punkt vi kallar . Eftersom så är och . Dessutom är såklart , vilket gör att och är likformiga. Då följer således att:
Att även medianerna till och delar i visas på samma sätt. Vilket leder till: att triangelns tyngdpunkt (som ju är skärningspunkten mellan hörnvinklarnas medianer) ligger på Eurlerlinjen och att triangelns tyngdpunkt dessutom delar sträckan mellan ortocentrum och den omskrivna cirkelns medelpunkt i två delar med proportionerna .
de Longchampspunkten Eftersom de Longchampspunkten är ortocentrums spegling i den omskrivna cirkelns medelpunkt (det vill säga ) är beviset för att även de Longchampspunkten ligger på Eulerlinjen trivialt.Eric W. Weisstein, de Longchamps Point på MathWorld.
Niopunktcirkelns medelpunkt Beviset för att niopunktscirkelns medelpunkt ligger på Eulerlinjen ges i artikeln Niopunktscirkeln.
Bevis för att sträckan delas i proportionerna 3:1:2:6 och att H, N, G och O delar Eulerlinjen harmoniskt 1) Från beviset ovan för triangelns tyngdpunkt har vi att 2) Från artikeln Niopunktscirkeln har vi att 3) Från definitionen av de Longchampspunkten har vi att 1 och 2 ger 4) 2 och 4 ger: 5) 3, 4 och 5 ger: 6) Således:
Punkterna , , och delar Eulerlinjen harmoniskt eftersom:
Eulerlinjer för olika trianglar miniatyr|vänster|1000px|Eulerlinjer (svarta) för olika trianglar (blå). Ortocentrum rött, den omskrivna cirkelns medelpunkt grön, höjder genom hörnen orange, sidornas mittpunktsnormaler violetta. Sidan är densamma i alla trianglarna, medan det tredje hörnet flyttas i förhållande till sidan. Går man åt höger i raderna flyttas hörnet närmare sidans mittpunktsnormal (och höjden genom hörnet följer ju såklart med). Går man neråt i kolumnerna flyttas närmare . I andra kolumnen är vinkeln i rät, i den högra kolumnen ligger mitt över (och trianglarna i kolumnen är således likbenta), medan höjden i den andra raden är , vilket gör att triangeln längst till höger är liksidig (och ortocentrum sammanfaller med den omskrivna cirkelns medelpunkt – någon Eulerlinje kan således inte definieras för liksidiga trianglar).Intervallen markerade med X innehåller de trianglar som har Eulerlinjer parallella till (tillsammans med trianglar utan denna egenskap). Om triangeln är rätvinklig, trubbvinklig eller likbent kan Eulerlinjen inte vara parallell med någon sida.
Referenser Eric W. Weisstein, Euler Line på MathWorld. Torbjörn Tambour, 2002, Euklidisk geometri, Matematiska institutionen, Stockholms universitet, sid. 57–60. Noter
Kategori:Trianglar Kategori:Euklidisk geometri