Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.
Definition och egenskaper En matris B är logaritmen till en matris A om A är matrisexponentialen av B:
Matrislogaritmen har följande egenskaper: En matris har en logaritm om och endast om den är inverterbar. En reell matris kan ha en komplex matris som logaritm. Matrislogaritmen är inte unik.
Beräkning För diagonaliserbara matriser Om D är en diagonalmatris är logaritmen av D en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av D:s diagonalelement, dvs:
För en diagonaliserbar matris A, dvs A = TDT-1, gäller att ln A = T ln DT-1.
För ej diagonaliserbara matriser Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs A = TJT-1 där J är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock Jp kan skrivas som:
Där N är en nilpotent matris med λ-1 i diagonalen ovanför huvuddiagonalen.
Vi kan nu använda Maclaurinutvecklingen av ln(1+x):
Så att:
Då N är nilpotent kommer Nk = 0 för något k, så att serien i slutet kommer att konvergera mot en matris.
Exempel Matrisen:
är ett Jordanblock. Vi får då att:
Se även Logaritm Matrisfunktion Matrisexponential
Kategori:Matrisalgebra Kategori:Logaritmer Kategori:Matristeori