Moore–Penroses pseudoinvers är inom linjär algebra en generalisering av vissa egenskaper hos matrisinversen för icke-kvadratiska matriser, uppkallad efter Eliakim Hastings Moore och Roger Penrose, som beskrev den oberoende av varandra 1920 respektive 1955.
Definition Moore–Penroses pseudoinvers till en matris är en matris som uppfyller:
( behöver inte vara en enhetsmatris, men ska avbilda alla kolonnvektorer i på sig själva); ( is är en svag invers för den multiplikativa semigruppen); ( är en hermitesk matris) ( är också hermitesk).
är det hermiteska konjugatet till . För reella matriser är detta samma sak som transponatet.
Egenskaper Givet en matris med Moore–Penroses pseudoinvers , gäller följande: är unik. Om är en inverterbar matris, är . Pseudoinversen av pseudoinversen är den ursprungliga matrisen, . är en ortogonal projektion på s värderum. är en ortogonal projektion på s värderum. Pseudoinversen till en nollmatris är dess transponat.
Specialfall Ortonormala rader och kolonner Om har ortonormala kolonnvektorer () eller ortonormala radvektorer ( så är ).
Linjärt oberoende kolonner och rader Om kolonnerna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med: . Det följer då att är vänsterinvers till .
Om raderna i är linjärt oberoende är inverterbar och Moore–Penroses pseudoinvers kan beräknas med: . Det följer då att är högerinvers till .
Beräkning Singulärvärdesfaktorisering Om matrisen har singulärvärdesfaktoriseringen så fås . Pseudoinversen av , som är en "nästan diagonal" matris med matrisens singulärvärden i diagonalen, genom att ersätta varje element i diagonalen med . Exempel:
Tillämpningar Moore–Penroses pseudoinvers ger en minsta kvadrat-lösning till system av linjära ekvationer. Om systemet ges av ges minsta kvadrat-lösningen av .
Kategori:Linjär algebra Kategori:Matristeori