Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.
Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt vara ett måttrum, vara en måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner .
Grundläggande egenskaper
Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.
Monotonicitet: om är
.
Linjäritet: om f och g är integrerbara är summan också integrerbar och
för alla .
Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än eller lika med integralen av absolutbeloppet:
.
Additivitet för funktioner: om är integrerbara funktioner är
Additivitet för mängder: om är mäbara funktionen och är parvis disjunkta mätbara mängder är
Nollmängder
Nollmängder påverkar inte måttintegraler.
Om så är
.
Om µ-nästan överallt så är
.
Konvergenssatser Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till
,
där är integrerbara funktioner för alla , så att det finns
.
Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.
Monotona konvergenssatsen: om så existerar gränsvärdet och
.
Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion som är integrerbar så att för alla nästan överallt och existerar så är
.
Begränsade konvergenssatsen: om och för alla var så är
Fatous lemma: om är mätbara funktioner så gäller att
och
.
Sigma-additivitet
Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om och är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i så är
Detta betyder också att funktionen , där , är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.
Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är
Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna.
Se även Måttintegral
Källor G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)
Kategori:Måtteori Kategori:Matematisk analys