En kvotgrupp är inom matematik, specifikt gruppteori, en grupp som bildas utifrån en större grupp med hjälp av en ekvivalensrelation, som i sin tur definieras med hjälp av en normal delgrupp. Ekvivalensrelationen definierar ekvivalensklasser som partitionerar den ursprungliga mängden. Partitionerna bildar då en grupp i sig själva.

I kategoriteori är kvotgrupper exempel på kvotobjekt. Exempel på andra kvotobjekt är kvotringar, kvotrum och kvotmängder.

Definition Givet en grupp G kan man definiera multiplikation av delmängder till G genom:

Om N är en normal delgrupp till G kan man bilda mängderna av sidoklasser till N. Eftersom N är normal kommer vänstersidoklasserna och högersidoklasserna vara samma. Dessa sidoklasser bildar en grupp under multiplikation av delmängder. Mer noggrant, låt aN och bN vara sidoklasser till N. Då gäller att:

så att produkten av två sidoklasser är återigen en sidoklass. Det neutrala elementet i kvotgruppen är sidoklassen och det inversa elementet till är .

Exempel höger|miniatyr|150px|Lösningarna till och sidoklasser. Gruppen av heltal under addition, Z, är en abelsk grupp, så varje delgrupp är normal. Ta delgruppen av jämna heltal, 2Z och bilda kvotgruppen Z/2Z. Det finns två sidoklasser till 2Z i Z: mängden av jämna heltal och mängden av udda heltal, så kvotgruppen Z/2Z är den cykliska gruppen med två element, isomorf med gruppen bestående av med operationen addition modulo 2. Den multiplikativa abelska gruppen bestående av alla lösningar till ekvationen består av punkter på enhetscirkeln i det komplexa planet. En normal delgrupp är alla lösningar till ekvationen , markerade med röda prickar i bilden till höger, som partitionerar gruppen i tre sidoklasser. Kvotgruppen blir den cykliska gruppen med tre element. Gruppen av reella tal under addition, R, med delgruppen av heltal Z, bildar kvotgruppen R/Z bestående av element r + Z där som är isomorf med cirkelgruppen bestående av alla komplexa tal med absolutbelopp 1. En isomorfi ges av

Egenskaper Kvotgruppen G/G är isomorf med den triviala gruppen, gruppen med ett element, och G/{e}, där e är det neutrala element i G, är isomorf med G.

Ordningen av kvotgruppen G/N är detsamma som indexet för N.

Det finns en surjektiv grupphomomorfi definierad av . kallas den kanoniska projektionen av G på G/N. Nollrummet av är N.

Om G är abelsk, lösbar, nilpotent eller cyklisk har även G/N den egenskapen.

Källor

Kategori:Gruppteori