Gersjgorins cirkelsats är ett resultat inom matematik som ger approximativa positioner för en matris egenvärden i det komplexa talplanet. Satsen är uppkallad efter Semyon Aranovich Gersjgorin som publicerade resultatet 1931.
Gersjgorins cirkelsats Låt A vara en n × n-matris med elementet aij på rad i och kolonn j. För varje rad, låt Ri vara summan av absolutbeloppen av rad i:s element, förutom diagonalelementet: . Låt Di vara den slutna cirkeln i det komplexa talplanet med mittpunkt i aii och radie Ri. Dessa Di kallas Gersjgorinskivor. Gersjgorins cirkelsats säger att alla A:s egenvären λi ligger i unionen av dessa skivor: . Vidare, om Dk är disjunkt från alla andra Gersjgorinskivor, kommer ett egenvärde ligga i Dk.
I satsen kan man vid bildandet av Ri summera över A:s kolonner istället för raderna.
Bevis Låt vara ett egenvärde till . Välj en egenvektor så att en komponent och att . Då gäller det att
.
Uppdelning av summan och det faktum att ger att
.
Därför, med hjälp av triangelolikheten, gäller att
.
Tillämpning Eftersom en matris är singulär om och endast om A har noll som egenvärde, ger en satsen direkt att en matris är inverterbar om den är strikt diagonaldominant.
Gersjgorins cirkelsats tillämpas även inom numerisk analys vid lösningen av ekvationssystem Ax = b där A är en matris med stort konditionstal.
Se även Perron-Frobenius sats
Referenser
Noter
Kategori:Matriser Kategori:Satser inom linjär algebra Kategori:Matristeori