Правильний двадцятичотирьохкомірник, або просто двадцятичотирьохкомірник, або ікосітетрахор (від — «двадцять», — «чотири» і — «місце, простір») — один із шести правильних багатокомірників у чотиривимірному просторі.
Відкрив Людвіг Шлефлі в середині 1850-х роківGeorge Olshevsky. Icositetrachoron // Glossary for Hyperspace.. Символ Шлефлі двадцятичотирьохкомірника — {3,4,3}.
Двоїстий сам собі; двадцятичотирьохкомірник — єдиний самодвоїстий правильний політоп розмірності більше 2, що не є симплексом. Цим обумовлена унікальність двадцятичотирьохкомірника: на відміну від п'яти інших правильних двадцятичотирьохкомірників, він не має аналога серед платонових тіл.
Опис Обмежений 24 тривимірними комірками — однаковими октаедрами. Кут між двома суміжними комірками дорівнює
96 двовимірних граней — рівні правильні трикутники. Кожна грань розділяє 2 прилеглі до неї комірки.
Має 96 ребер рівної довжини, розташованих так само, як ребра трьох тесерактів зі спільним центром. На кожному ребрі сходяться по 3 грані та по 3 комірки.
Має 24 вершини, розташовані так само, як вершини трьох шістнадцятикомірників зі спільним центром. У кожній вершині сходяться по 8 ребер, по 12 граней та по 6 комірок.
Двадцятичотирьохкомірник можна розглядати як шістнадцятикомірник.
Двадцятичотирьохкомірник можна зібрати з двох рівних тесерактів, розрізавши один з них на 8 однакових кубічних пірамід, основи яких — 8 комірок тесеракта, а вершини збігаються з його центром, і потім приклавши ці піраміди до 8 кубічних комірок іншого тесеракта. У тривимірному просторі аналогічно можна з двох рівних кубів зібрати ромбододекаедр — який, однак, не є правильним.
У координатах
Перший спосіб розташування Двадцятичотирьохкомірник можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб 8 з його вершин мали координати (ці вершини розташовані так само, як вершини шістнадцятикомірника), а решта 16 вершин — координати (вони розташовані так само, як вершини тесеракта; крім того, ті 8 з них, серед координат яких непарна кількість від'ємних, утворюють вершини іншого шістнадцятикомірника, а інші 8 — вершини третього шістнадцятикомірника).
При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких усі чотири координати різняться на або одна з координат відрізняється на а решта збігаються.
Початок координат буде центром симетрії двадцятичотирьохкомірника, а також центром його вписаної, описаної та напіввписаних тривимірних гіперсфер .
Другий спосіб розташування Крім того, двадцятичотирьохкомірник можна розмістити так, щоб координати всіх його 24 вершин були всілякими перестановками чисел (Ці точки — центри 24 комірок багатокомірника, описаного в попередньому розділі).
При цьому ребром будуть з'єднані ті вершини, у яких якісь дві координати різняться на а інші дві збігаються.
Центром багатоосередника знову буде початок координат.
Ортогональні проєкції на площину
Метричні характеристики Якщо двадцятичотирьохкомірник має ребро довжини то його чотиривимірний гіпероб'єм і тривимірна гіперплоща поверхні становлять відповідно
Радіус описаної тривимірної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника) при цьому дорівнюватиме.
радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -
радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)
радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок у їхніх центрах) -
Заповнення простору Двадцятичотирьохкомірниками можна замостити чотиривимірний простір без проміжків і накладень.
Див. також Кирпатий двадцятичотирьохкомірник
Примітки
Посилання