Додавання (зазвичай позначається знаком плюс ) — одна з чотирьох основних арифметичних дій, іншими трьома є віднімання, множення та ділення. Додавання двох цілих чисел дає в результаті суму цих значень. Приклад на зображенні поруч показує два стовпці з трьома та двома яблуками, тобто п'ятьма яблуками. Це спостереження еквівалентно математичному виразу (тобто «3 плюс 2 дорівнює 5»).

Окрім підрахунку елементів, додавання також можна визначити та виконати без посилання на конкретні об'єкти, використовуючи натомість абстракції, які називаються числами, наприклад цілі числа, дійсні числа та комплексні числа. Додавання належить до арифметики, розділу математики. В алгебрі, іншому розділі математики, додавання також можна виконувати на абстрактних об'єктах, таких як вектори, матриці, підпростори та підгрупи.

Додавання має кілька важливих властивостей. Воно комутативне, тобто порядок операндів не має значення, і воно асоціативне, тобто коли додається більше двох чисел, порядок додавання не має значення. Процес повторного додавання еквівалентний підрахунку (див. ). Додавання не змінює числа. Додавання також підкоряється правилам, пов'язаним із спорідненими операціями, такими як віднімання та множення.

Виконання додавання є однією з найпростіших числових операцій. Додавання малих чисел доступне навіть дітям ясельного віку; найпростіше завдання, , можуть виконувати немовлята віком від п'яти місяців і навіть деякі представники інших видів тварин. У початковій школі учнів вчать додавати числа в десятковій системі, починаючи з однозначних чисел і поступово переходячи до більш складних завдань. Механічні допоміжні засоби варіюються від стародавніх рахівниць до сучасних комп'ютерів, де дослідження найбільш ефективних реалізацій додавання все ще тривають.

Позначення та термінологія

Додавання записується з використанням знаку плюс «+» між доданками; така форма запису називається інфіксною нотацією. Результат записується з використанням знаку рівності. Наприклад, («один плюс два дорівнює три») (див. «асоціативність» нижче) (див. «множення» нижче)

Також існують ситуації, коли «зрозуміло», що відбувається додавання, навіть якщо символ додавання не вказано: ціле число, за яким відразу йде дріб, вказує на суму цих двох виразів і називається змішаним числомDevine et al. p. 263. Наприклад, Це позначення може викликати плутанину, оскільки в більшості інших контекстів, написання величин поряд означає множенняMazur, Joseph. Enlightening Symbols: A Short History of Mathematical Notation and Its Hidden Powers. Princeton University Press, 2014. p. 161.

Сума ряду чисел виражається за допомогою сигма-нотації, яка компактно позначає ітерацію. Наприклад,

Доданки Числа або об'єкти, які потрібно додати в загальній операції додавання, разом називаються доданками; в англійські мові — Department of the Army (1961) Army Technical Manual TM 11-684: Principles and Applications of Mathematics for Communications-Electronics . Section 5.1, або Hosch, W.L. (Ed.). (2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement. The Rosen Publishing Group. p. 38; ця термінологія поширюється на додавання кількох доданків. Доданки слід відрізняти від множників, які є операндами множення. Деякі автори називають перший доданок , . Насправді в епоху Відродження, багато авторів взагалі не вважали перший доданок «доданком». У наш час, завдяки комутативній властивості додавання, термін використовується рідко, і обидва члени зазвичай називаються Schwartzman p. 19.

Уся наведена вище англійська термінологія походить від латинської мови. Англійські слова «addition» і «add» походять від латинського дієслова addere, яке в свою чергу складається з ad і dare («давати»), від слова з («давати»); таким чином означає давати. Використання суфікса -nd призводить до («те, що потрібно додати»)Addend не є латинським словом; в латинській мові воно має бути додатково сполучене, як у numerus addendus («число, яке потрібно додати»).. Так само від augere («збільшувати»), утворюється augend («те, що потрібно збільшити»).

та походять від латинського іменника summa («найвищий, вершина») та пов'язаного з ним дієслова summare. Це доречно не лише тому, що сума двох додатних чисел більша за будь-яке з них, а й тому, що стародавні греки та римляни зазвичай записували додавання знизу вгору, на відміну від сучасної практики написання додавання зверху вниз, так що сума була буквально зверху доданківШварцман (p. 212) приписує додавання вгору грекам і римлянам, кажучи, що це було приблизно так само поширено, як і додавання вниз. З іншого боку, Карпінський (p. 103) пише, що Фібоначчі «вводить новацію в написанні суми над доданками»; незрозуміло, чи Карпінський стверджує це як оригінальний винахід чи просто запровадження практики в Європі. Addere та summare датуються принаймні до Боеція, якщо не більш ранніх римських письменників, таких як Вітрувій і Фронтін; Боецій також використовував кілька інших термінів для операції додавання. Пізніші терміни середньоанглійської мови adden і adding були популяризовані ЧосеромKarpinski pp. 150–153.

Знак плюс «+» (Юнікод: U+002B; ASCII: +) є абревіатурою латинського слова et, що означає «і». Він зустрічається в математичних роботах, датованих принаймні 1489 роком.

Інтерпретації Додавання використовується для моделювання багатьох фізичних процесів. Навіть для простого випадку додавання натуральних чисел існує багато різних інтерпретацій і навіть більше способів візуального представлення.

Об'єднання множин

Мабуть, найпростішою інтерпретацією додавання є об'єднання множин: Коли дві або більше непересічних колекцій об'єднуються в одну колекцію, кількість об'єктів в об'єднаній колекції є сумою кількості об'єктів у вихідних колекціях.

Цей варіант інтерпретації легко візуалізувати, з мінімальним ризиком двозначності. Він також використовується у вищій математиці (див. більш строге визначення, натхненне цією інтерпретацією: ). Однак неочевидно, як цю інтерпретацію додавання можна поширити на дроби та від'ємні числаДив. Viro 2001 для прикладу складності, яка виникає при додаванні з використанням множин, які мають «потужність множини дробів»..

Один із можливих підходів полягає в тому, щоб розглянути колекції об'єктів, які можна легко розділити на частини, наприклад торти або, навіть краще, стрижні, які можна розділити на сегментиAdding it up (p. 73) порівнює додавання мірних стрижнів до додавання множин котів: «Дюйми, наприклад, можна розділити на частини, які важко відрізнити від цілого, за винятком того, що вони коротші; тоді як поділ котів на частини є болючим і це серйозно змінює їхню природу». Замість того, щоб просто поєднувати колекції сегментів, стрижні можна з'єднати кінцями, що ілюструє інше розуміння додавання: додаються не стрижні, а їх довжини.

Додавання на числовій прямій

Інша інтерпретація трактує додавання як переміщення на величину, що додається: Коли початкова позиція переміщується на додану довжину, отримана нова позиція дорівнює сумі вихідної позиції та довжини, доданої до неїMosley, F. (2001). Using number lines with 5-8 year olds. Nelson Thornes. p.8. Суму a + b можна інтерпретувати як бінарну операцію об'єднання a і b в алгебраїчному сенсі, також її можна інтерпретувати як додавання b одиниць до числа a. В останній інтерпретації частини суми a + b мають асиметричні ролі, а операція a + b розглядається як застосування унарної операції +b до числа aLi, Y., & (2014). Mathematics curriculum in school education. Springer. p. 204. Замість того, щоб називати обидва числа a і b доданками, більш доречним було б називати a збільшуваним числом () в цьому випадку, оскільки a має пасивну роль. Цей підхід також може бути корисним при обговоренні віднімання, адже кожна унарна операція додавання має зворотну унарну операцію віднімання і навпаки.

Властивості

Комутативність

Додавання є комутативним: перестановка доданків не змінює суму. У символьному записі: якщо a і b — будь-які два числа, то a + b = b + a. Комутативність додавання відома під назвою «комутативний закон додавання» або «комутативна властивість додавання». Деякі інші бінарні операції є комутативними, наприклад множення, але багато інших, наприклад віднімання та ділення, не є комутативними.

Асоціативність

Додавання є асоціативним: при додаванні трьох і більше чисел порядок виконання дій не змінює результат.

Наприклад, чи має вираз a + b + c означати (a + b) + c або a + (b + c)? З огляду на те, що додавання є асоціативним, вибір одного із запропонованих варіантів не має значення. Для будь-яких чисел a, b, і c виконується рівність (a + b) + c = a + (b + c). Наприклад, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Коли додавання використовується разом з іншими операціями, черговість операцій стає важливою. У стандартному порядку операцій додавання має нижчий пріоритет, ніж піднесення до степеня, корінь n-го степеня, множення та ділення, але має рівний пріоритет із відніманням.

Нейтральний елемент

Якщо додати нуль до будь-якого числа, то значення цього числа не зміниться; нуль — це нейтральний елемент для операції додавання, також відомий як адитивна тотожність (). У символьному вигляді: для будь-якого a, a + 0 = 0 + a = a. Цей закон вперше був описаний Брахмагуптою в його праці «» в 628 р. н.е., хоча він записав його як три окремих закони: для від'ємних, додатних та нульових значень a, і він використовував слова, а не алгебраїчні символи для його опису. Пізніше вдосконалили цю концепцію; близько 840 року написав, що «нуль стає таким самим, як те, що до нього додається», що еквівалентно запису . У 12 столітті Бгаскара II написав: «при додаванні або відніманні нуля величина, додатна чи від'ємна, залишається незмінною», що відповідає запису Kaplan pp.69–71.

Наступне число У контексті цілих чисел, додавання одиниці також відіграє особливу роль: для будь-якого цілого числа a ціле число (a + 1) є найменшим цілим числом, більшим за a, також відомим як після aHempel, C. G. (2001). The philosophy of Carl G. Hempel: studies in science, explanation, and rationality. p. 7. Наприклад, 3 є наступним числом після 2, а 7 є наступним числом після 6. Враховуючи цей зв'язок, значення «a» + «b» можна розглядати, як -е наступне число після «а», таким чином, додавання можна визначити як ітеративне послідовне знаходження наступного числа. Наприклад, 6 + 2 буде 8, оскільки 8 йде після 7, яке йде після 6, отже, 8 — це друге наступне число після 6.

Одиниці вимірювання Для додавання фізичних величин їх значення слід привести до однакових одиниць вимірюванняR. Fierro (2012) Mathematics for Elementary School Teachers. Cengage Learning. Sec 2.3. Наприклад, якщо додати 50 мілілітрів і 150 мілілітрів, то вийде 200 мілілітрів. Однак, якщо до 5 футів додати 2 дюйми, загальна сума становитиме 62 дюйми, оскільки 60 дюймів еквівалентно 5 футам. З іншого боку, зазвичай немає сенсу додавати 3 метри і 4 квадратних метри, бо ці одиниці вимірювання не можна порівнювати; такі міркування є ключовими в аналізі розмірностей.

Виконання додавання

Вроджена здібність Дослідження розвитку математичних здібностей, які розпочалися в 1980-х роках, розглядали феномен звикання: немовлята довше дивляться на несподівані для них ситуаціїWynn p.5. Фундаментальний експеримент  у 1992 році з ляльками Міккі Мауса, якими маніпулювали за ширмою, продемонстрував, що п'ятимісячні немовлята очікують, що 1 + 1 буде 2, і вони відносно здивовані, коли в контексті ситуації 1 + 1 еквівалентно або 1 або 3. Пізніше цей результат був підтверджений в інших лабораторіях з використанням різних методівWynn p.15. Інший експеримент 1992 року з дітьми старшого віку, від 18 до 35 місяців, використовував розвиток моторних функцій дітей, дозволяючи їм діставати кульки для настільного тенісу з коробки; наймолодші діти добре справлялися з невеликою кількістю кульок, а старші могли обчислювати суму до 5Wynn p.17.