У теорії чисел прайморіальним простим числом називають просте число вигляду pn# ± 1, де pn# — прайморіал pn (тобто добуток перших n простих чисел).
pn# − 1 є простим для n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, … pn# + 1 є простим для n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, …
Декілька перших прайморіальних простих:
3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, , , , … .
Найбільшим відомим прайморіальним простим числом вигляду «pn# − 1» є число 3267113# — 1 з 1418398 знаками, його знайдено 2021 року в проєкті PrimeGrid.
Найбільшим відомим прайморіальним простим числом вигляду «pn# + 1» є число 392113# + 1 з 169966 знаками, яке знайшов Даніель Гоєр 2001 року.
Числа Евкліда
Числа вигляду pn# + 1 (не обов'язково прості) називають числами Евкліда.
Декілька перших чисел Евкліда:
3, 7, 31, 211, 2311, , , … .
Поширена думка, що ідея прайморіальних простих належить Евкліду і з'явилася в його доведенні нескінченності числа простих чисел: припустимо, що існує тільки n простих чисел, тоді число pn# + 1 взаємно просте з ними, а отже воно є простим, або існує ще одне просте число. залишається, скінченна чи нескінченна кількість прайморіальних простих чисел (і, зокрема, простих чисел Евкліда).
Число Евкліда E6 = 13# + 1 = 30031 = 59 x 509 складене, що демонструє, що не всі числа Евкліда прості.
Числа Евкліда не можуть бути квадратними, оскільки вони завжди порівнянні з 3 mod 4.
Для всіх n ≥ 3 останній знак En дорівнює 1, оскільки En − 1 ділиться на 2 та 5.
Див. також Прайморіал Факторіальне просте число PrimeGrid
Примітки
Посилання A. Borning, «Some Results for and » Math. Comput. 26 (1972): 567—570. Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial at The Prime Pages.
Harvey Dubner, «Factorial and Primorial Primes.» J. Rec. Math. 19 (1987): 197—203. Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.