4-прискорення (чотири-прискорення, чотириприскорення) в релятивістській кінематиці — чотиривектор, що узагальнює класичне прискорення і визначений як похідна 4-швидкості за власним часом частинки:

 — 3-прискорення,  — безрозмірнісна 3-швидкість,

і  — лоренц-фактор для 3-швидкості . Крапка над змінною означає похідну за координатним часом у цій системі відліку, а не за власним часом

У миттєвій супутній інерційній системі відліку і тобто в такій системі відліку

Геометрично 4-прискорення є вектором кривини світової лінії.

Таким чином, модуль 4-прискорення (який є інваріантним скаляром) дорівнює власному прискоренню, яке «відчуває» частинка, що рухається вздовж своєї світової лінії. Світові лінії, що мають постійну величину 4-прискорення, є колами Мінковського, тобто гіперболами (див. Гіперболічний рух).

Навіть за релятивістських швидкостей 4-прискорення пов'язане з 4-силою, що діє на частинку, формулою, що узагальнює класичний другий закон Ньютона:

де  — маса частинки.

Скалярний добуток 4-швидкості та відповідного 4-прискорення завжди дорівнює нулю. Це легко побачити, продиференціювавши тотожність за власним часом: Отже, 4-прискорення та співнапрямлена з нею відповідна 4-сила, що діють на частинку, завжди ортогональні її 4-швидкості (і співнапрямленому з 4-швидкістю 4-імпульсу ) — на відміну від класичної механіки.

У загальній теорії відносності компоненти чотиривектора прискорення пов'язані з компонентами 4-швидкості коваріантною похідною за власним часом:

( — символи Крістофеля).

У спеціальній теорії відносності координати зазвичай виражають у прямолінійній інерційній системі відліку, так що член із символами Крістофеля зникає, але іноді, коли автори для опису прискореної системи використовують криволінійні координати, система відліку не є інерційною, але фізика все одно залишається спецрелятивістською, оскільки метрика є просто координатним перетворенням метрики простору Мінковського. У такому разі слід використати наведений вище вираз, оскільки тут не всі символи Крістофеля дорівнюють нулю.

Коли 4-сила дорівнює нулю, на частинку діє тільки гравітація, і чотиривекторна версія другого закону Ньютона (див. вище) зводиться до рівняння геодезичної. Частинка, що здійснює геодезичний рух, має нульове значення для кожного компонента 4-вектора прискорення. Це узгоджується з тим, що гравітація не є силою.

Див. також

4-вектор 4-імпульс 4-сила 4-швидкість Прискорення

Примітки

Література