Повна група ― група , така що відображення є ізоморфізмом. Це відображення посилає елемент в автоморфізм спряження . Ін'єктивність цього відображення рівносильна тривіальності центра, а сюр'єктивність тому, що кожен автоморфізм є внутрішнім.
Прикладами є симетричні групи за (теорема Гельдера); при цьому група має нетривіальний центр, а в групи існує .
Автоморфізми простої групи утворюють майже просту групу, а автоморфізми неабелевої простої групи — повну групу.
Не будь-яка група, ізоморфна своїй групі автоморфізмів, є повною: необхідно, щоб ізоморфізм здійснювався відображенням спряження. Прикладом групи, для якої , але яка не є повною, є група діедра Robinson, section 13.5.
Примітки
Література
(розділ 7, зокрема теореми 7.15 і 7.17).
Посилання : How tall is the automorphism tower of a group?