У аналітичній геометрії формула перерізу — це формула, яка використовується для знаходження співвідношення, в якому відрізок лінії ділиться точкою зсередини або зовні. Вона використовується для визначення геометричного центру, центру вписаного кола і ексцентрів трикутника. У фізиці вона використовується для знаходження центру мас систем, точок рівноваги тощо
Внутрішній поділ
Якщо точка P, яка лежить на відрізку AB, ділить цей відрізок, що сполучає точки і у відношенні m:n, то
Відношення m:n також можна записати як , або , де . Отже, координатами точки , яка ділить відрізок, що з’єднує точки і є:
Подібним чином, співвідношення також можна записати як , а координатами точки P є .
Доказ Дано два трикутники: .
Зовнішній поділ
Якщо точка P, що лежить на продовженні AB, ділить AB у відношенні m:n, то
Доказ Дано два трикутники . Нехай C і D — дві точки перетину AP і BP відповідно). Тому ∠ACP = ∠BDP.
Формула середньої точки Середня точка відрізка ділить його у співвідношенні . Застосування формули перерізу для внутрішнього поділу:
Виведення
Геометричний центр
Геометричний центр трикутника є точкою перетину медіан, яка ділить кожну медіану у співвідношенні . Нехай вершини трикутника , і . Отже, медіана з точки A перетне BC в точці . Використовуючи формулу перерізу, геометричним центром стає точка з координатами:
У тривимірному просторі Нехай A і B — дві точки з декартовими координатами (x 1, y 1, z 1) і (x 2, y 2, z 2), а P — точка на прямій, що проходить через A і B. Якщо . Тоді формули розрізу дають такі координати точки P:
Якщо натомість, P є точкою на прямій так, що , то її координати .
У векторній алгебрі Позиційний вектор точки P, що розділяє відрізок, що з’єднує точки A і B, позиційні вектори яких є і
у співвідношенні внутрішньо, дається по у співвідношенні зовні, дається по https://ncert.nic.in/ncerts/l/leep210.pdf
Див. також
Формула перерізу Формула відстані Формула середньої точки
Примітки
Посилання
розділ-формула GeoGebra