Інтерполяція Ерміта — поліноміальна інтерполяція запропонована Шарлем Ермітом, узагальнює інтерполяцію Лагранжа.
Інтерполяція Ерміта, як і інтерполяція Ньютона використовує розділені різниці.
Інтерполяція Ерміта будує многочлен мінімально-можливого степеня, що співпадає із заданою функцією в точках, а також співпадіння перших похідних в цих точках. Тобто, вхідними даними є значень: .
Отриманий многочлен буде мати степінь не більше . Також можна задавати меншу (різну) кількість відомих похідних в кожній точці.
Метод В послідовності , продублюємо кожне значення разів і назвемо її
і будемо рахувати розділені різниці для них. Хоча деякі з них будуть невизначенностями .
Ці невизначеності замінимо на .
Різниці вищих порядків (j > 2) зі співпадаючими точками замінимо на похідні вищих порядків за правилом:
Приклад Наблизимо функцію . Обчислимо значення та 2 перші похідні для , отримаємо: −1 2 −8 56 0 1 0 0 1 2 8 56
Потроїмо точки . Обчислимо таблицю розділених різниць:
і побудуємо многочлен
взявши коефіцієнти з діагоналі (зверху), домноживши їх на , як і в многочленах Ньютона.
Див. також Кубічні сплайни Ерміта Поліноми Бернштейна
Примітки
Джерела