-Адичний аналіз — розділ теорії чисел, який займається математичним аналізом функцій -адичних чисел.
Теорія комплекснозначних числових функцій на -адичних числах є частиною теорії локально компактних груп. Зазвичай під -адичним аналізом розуміють теорію -адичнозначних функцій на цікавих просторах.
Застосовують -адичний аналіз переважно в теорії чисел, де він відіграє значну роль у діофантовій геометрії та діофантовій апроксимації. Деякі застосування вимагали розробки -адичного функціонального аналізу та спектральної теорії. Багато в чому -адичний аналіз є менш витонченим, ніж класичний аналіз, оскільки ультраметрична нерівність означає, наприклад, що збіжність нескінченних рядів -адичних чисел значно простіша. Топологічні векторні простори над -адичними полями демонструють відмінні риси; наприклад, аспекти, що стосуються опуклості та теореми Гана — Банаха, відрізняються.
Важливі результати
Теорема Островського Теорема Островського, яку сформулював Олександр Островський (1916), стверджує, що кожне нетривіальне абсолютне значення раціональних чисел Q еквівалентне або звичайному дійсному абсолютному значенню, або -адичному абсолютному значенню. for some prime or for .
Теорема Малера Теорема Малера, яку сформулював Курт Малер, виражає неперервні -адичні функції через многочлени.
У будь-якому полі характеристики 0 можна отримати такий результат. Нехай
- це оператор прямої різниці. Тоді для поліноміальних функцій f маємо ряд Ньютона:
де
є k-м поліномом біноміального коефіцієнта.
Над полем дійсних чисел припущення про те, що функція f є многочленом, можна послабити, але його не можна послабити аж до простої неперервності.
Малер довів такий результат:
Теорема Малера: якщо f — неперервна -адична функція на -адичних цілих числах, то виконується та сама тотожність.
Лема Гензеля Лема Гензеля, також відома як лема Гензеля про підняття, названа на честь Курта Гензеля, є результатом модульної арифметики, який стверджує, що, якщо поліноміальне рівняння має простий корінь за модулем простого числа , то цей корінь відповідає унікальному кореню того самого рівняння за модулем будь-якого більшого степеня , який можна знайти ітераційним розв'язку за модулем послідовних степенів . Загальніше, його використовують як загальну назву для аналогів для повних комутативних кілець (зокрема, -адичних полів) методу Ньютона для розв'язування рівнянь. Оскільки -адичний аналіз певною мірою простіший від дійсночисельного аналізу, існують відносно прості критерії, що гарантують корінь многочлена.
Для формулювання результату, нехай — многочлен із цілими (або -адичними цілими) коефіцієнтами, і нехай m, k — натуральні числа, такі що m ≤ k. Якщо r таке ціле число, що
і
то існує таке ціле s, що
і
Крім того, це s є унікальним за модулем pk +m і може бути обчислене явно як
де
Застосування
-Адична квантова механіка -Адична квантова механіка — це відносно новий підхід до розуміння природи фундаментальної фізики. Це застосування -адичного аналізу до квантової механіки. Існують сотні наукових статей із цієї темиV. S. Vladimirov, I.V. Volovich, and E.I. Zelenov P-adic Analysis and Mathematical Physics, (World Scientific, Singapore 1994)L. Brekke and P. G. O. Freund, P-adic numbers in physics, Phys. Rep. 233, 1-66(1993), зокрема й у міжнародних журналах.
Є два основних підходи до предмету. Перший розглядає частинки в -адичній потенціальній ямі, і метою є пошук розв'язків із плавно змінними комплекснозначними хвильовими функціями. Тут розв'язки достатньо наочні. Другий розглядає частинки в -адичних потенціальних ямах, і мета полягає в тому, щоб знайти -адичнозначні хвильові функції. У цьому випадку фізична інтерпретація складніша.
Локально–глобальний принцип Локально-глобальний принцип Гельмута Гассе, також відомий як принцип Гассе, полягає в тому, що можна знайти цілочисельний розв'язок рівняння, використовуючи китайську теорему про остачі, щоб об'єднати розв'язки за модулем степенів кожного відмінного простого числа. Для цього досліджується рівняння в поповненнях раціональних чисел: дійсних числах і -адичних числах. Формальніша версія принципу Гассе стверджує, що певні типи рівнянь мають раціональний розв'язок тоді й лише тоді, коли вони мають розв'язок у дійсних числах і в -адичних числах для кожного простого .
Див. також -адичне число Локально компактний простір Аналіз функцій дійсної змінної Комплексний аналіз Гармонічний аналіз
Примітки
Література
(preprint) A course in p-adic analysis, Alain Robert, Springer, 2000, Ultrametric Calculus: An Introduction to P-Adic Analysis, W. H. Schikhof, Cambridge University Press, 2007, P-adic Differential Equations, Kiran S. Kedlaya, Cambridge University Press, 2010,