Конхоїда Нікомеда — конхоїда прямої, щодо точки, яка не лежить на ній. Є прикладом плоскої алгебричної кривої 4-го порядку.
Конхоїда Нікомеда має дві гілки, для яких пряма конхоїди є асимптотою.
Крива названа на честь давньогрецького математика Нікомеда, який застосовував її для трисекції кута і подвоєння куба.
Побудова
Нехай на площині вибрано пряму і точку , віддалену від прямої на відстань . Проведемо через точку промінь, що перетинає пряму у певній точці ; точки 1 і 2, що лежать на промені і віддалені від точки на заздалегідь обрану відстань , будуть точками конхоїди. Змінюючи напрямок променя , можна побудувати всю конхоїду.
Рівняння
Декартові координати Нехай вибрано систему координат так щоб точка була початком координат, а пряма задана рівнянням в декартових прямокутних координатах, як на рисунку справа. Нехай, як і на рисунку Якщо координати точки 1 є рівними 1 і 1, то , де є кутом між віссю абсцис і прямою 1. Аналогічно, якщо координати точки 2 є рівними 2 і 2, то
Зважаючи на довільність вибору точок можна одержати рівняння першої гілки конхоїди і для другої гілки . Разом обидві гілки можна описати рівнянням
Окрім точок конхоїди цьому рівнянню задовольняє також точка (початок координат). Іноді у цьому випадку її вважають ізольованою точкою на конхоїді Нікомеда.
Якщо то ситуація фактично не змінюється крім того, що точка належить одній із гілок конхоїди. Теж саме рівняння описує конхоїду у цьому випадку і задовольняє рівнянню, тож її не потрібно виключати чи вважати особливою ізольованою точкою.
Натомість, якщо , то існують точки на одній із гілок для яких абсциси є від'ємними. Для таких точок тому вони теж задовольняють загальному рівнянню.
Отож загалом для точки , яка є початком координат і прямої заданої рівнянням рівняння конхоїди є:
Це рівняння можливе для всіх значень Для одержується рівняння кола (яке часто вважається виродженим випадком конхоїди Нікомеда) і прямої
Полярні координати Якщо, знову ж, точку вибрати, як початок координаті, то точки прямої можна задати рівнянням де У цій формулі є кутом між віссю абсцис і прямою на рисунку. Звідси одержується рівняння у полярних координатах для однієї із гілок конхоїди: де У випадку для іншої гілки рівняння буде: де
Проте, якщо це рівняння описує лише точки з невід'ємними абсцисами у прямокутній системі координат.
Загалом можна розглянути два кути між віссю абсцис і прямою , а саме кут для якого і кут для якого . Якщо для деякого кута виконується нерівність то точка із координатами належить конхоїді. Якщо ж то конхоїді належить точка із полярними координатами або по іншому
При полярних координатах часто, якщо у рівнянні виконується тоді дане рівняння задає точку Тоді усю другу гілку конхоїди можна задати рівнянням де . З урахуванням цього у полярних координатах усе рівняння можна задати як:
де
Параметричне рівняння Будь-яку точку на прямій можна задати координатами , де Одиничний вектор у напрямку прямої між точками і із координатами має координати і відповідно точки на прямій на відстані від точки мають координати .
Звідси одержується параметричне рівняння:
У цьому рівнянні і вибір конкретного знаку дає вибір певної гілки конхоїди.
Властивості
Конхоїда Нікомеда є прикладом алгебричної кривої 4-го порядку. Її проективна версія (яка задається однорідним рівнянням ) має також додаткову «точку в нескінченності» . Конхоїда Нікомеда має дві гілки, для яких пряма конхоїди є асимптотою. Для точка на лежить одній гілок конхоїди. Для ця точка не належить конхоїді але задовольняє загальному рівнянню. Тому часто також її розглядають як особливу точку кривої. Тоді для конхоїди Нікомеда ця точка: при ― ізольована точка при ― вузлова точка при ― точка повернення Одна із гілок конхоїди Нікомеда є завжди гладкою. Для друга гілка і відповідно вся крива є гладкою (якщо не розглядати початок координат як окрему точку). Для друга гілка є гладкою всюди крім початку координат. Для одна із гілок конхоїди має «петлю». У параметризації у полярних координатах ця петля задається як де Нехай — кути, такі, що з двох точок перетину конхоїди із прямою визначеною кутом (не враховуючи перетину на початку координат) жодна із точок не лежить на «петлі». Зокрема можна взяти будь-які кути, що задовольняють нерівності. Тоді площа фігури обмежена променями із кутами і двома гілками конхоїди Нікомеда є рівна:
Зокрема при прямуванні до ця площа прямує до нескінченності. Відповідно площа фігури між двома гілками конхоїди є рівною нескінченності. Також нескінченності є рівною і площа між будь-якою гілкою і визначальною прямою оскільки для великих дві гілки є майже симетричними щодо цієї прямої.
Для площа петлі є рівною:
Нормалі та дотичні Нормаль і дотична у заданій точці конхоїди можуть бути побудовані досить просто зважаючи на властивості полярних піднормалей кривої. Полярною піднормаллю у точці називається відрізок, що одержується внаслідок перетину нормальної прямої до кривої у точці і прямої, що проходить через початок координат і є перпендикулярною до прямої . Якщо крива задана рівнянням у полярних координатах то довжина цього відрізку і його напрям визначається як . Оскільки у полярних координатах конхоїда описується як а асимптотична пряма для конхоїди: то їх похідні у точках на одному промені є рівними. Відповідно і полярні піднормалі є однаковими. Але полярні піднормалі для прямих побудувати просто.
Це дає покроковий алгоритм для побудови нормалі і дотичної до конхоїди у точці. Нехай дана конхоїда на рисунку вище і потрібно побудувати нормаль і дотичну у точці 1. Тоді
Потрібно провести пряму 1 і визначити точку на асимптотичній прямій, як точку перетину цієї прямої і пряму 1. Побудувати пряму, що проходить через точку і є перпендикулярною до прямої 1. Побудувати пряму, що проходить через точку і є перпендикулярною до асимптотичної прямої. Визначити точку перетину прямих із двох попередніх пунктів і провести пряму 1. Ця пряма буде нормальною до конхоїди у точці 1. Побудувати пряму перпендикулярну до прямої 1 у точці 1. Ця пряма буде дотичною до конхоїди у точці 1.
Альтернативний спосіб побудови
Інший спосіб побудови нормалі для однієї із гілок конхоїди використовував Декарт, як приклад свого більш загального способу побудови нормалей і дотичних до кривих.
Процес побудови показаний на рисунку справа. Тут пряма на основі якої будується конхоїда є горизонтальною, а полюсом є точка Тоді кроками побудови нормалі у деякій точці є:
Побудова прямої і визначення точки перетину цієї прямої із асимптотичною прямою (точка ). Побудова прямої, що проходить через точку і є перпендикулярною до асимптотичної прямої (і перетинає її у точці ). Відкладення відрізка довжина якого є рівною довжині відрізка . Побудова прямої, що проходить через точку і є перпендикулярною до асимптотичної прямої. Відкладення на попередній прямій відрізка довжина якого є рівною довжині відрізка Пряма тоді буде нормальною до конхоїди у точці . Доведення того, що точка лежить на нормалі до конхоїди у точці , згідно першого означення може бути вправою на застосування алгебричних методів у геометрії. Для цього можна використати, наприклад, параметричне рівняння конхоїди. Далі щоб викладення узгоджувалося з рисунком координати параметричного рівняння будуть поміняні місцями порівняно з попереднім.
Тоді точки на рисунку мають координати: Окрім того нехай позначає точку перетину прямої перпендикулярної асимптотичної прямої, що проходить через і прямої перпендикулярної до , що проходить через Згідно першого означення пряма буде нормальною до конхоїди у точці . Для того щоб точка лежала на цій прямій і, відповідно, сама визначала нормаль необхідно і достатньо щоб вектори і були паралельними.
Для визначення координат цих векторів спершу треба визначити координати точки . Вона є перетином прямої і прямої, що проходить через початок координат і є перпендикулярною до прямої . Оскільки вектор є напрямним для прямої , то вектор є напрямним до перпендикулярної і її можна записати параметрично: Тому для точки виконується рівність звідки і тому . Звідси можна знайти координати одного із необхідних векторів:
Вектор є сумою векторів і Вектор є паралельним осі ординат, направлений у від'ємному напрямку і, за означенням його довжина є рівною довжині відрізка Тому Вектор направлений паралельно прямої і протилежно до одиничного напрямного вектору Його довжина за означення є рівною довжині відрізка , тобто Тому Остаточно:
Загалом , тож два вектори дійсно є паралельними.
Трисекція кутів
Конхоїду Нікомеда можна використати для розв’язання задачі трисекції кутів. Нехай AÔB — довільний кут. З будь-якої точки на стороні проводиться перпендикуляр до сторони , і для прямої відносно полюса з константою будується конхоїда. Пряма, що є паралельною і проходить через точку , перетинає зовнішню гілку конхоїди у точці . Якщо провести пряму через точки і , то:
AÔC = AÔB
Недоліком цієї процедури є те, що вона вимагає окремої конхоїди, спеціалізованої для кожного кута, який потрібно розділити на три частини Це не так для деяких інших трисектрис (як, наприклад, трисектор Маклорена), які дозволяють будь-який кут розділити на три тією самою кривою.
Доведення
Нехай — точка перетину з , а — середина . Згідно означення конхоїди:
і тому
З іншого боку, є прямим кутом, а — медіаною прямокутного трикутника основою якої є гіпотенуза , Тому довжина є рівною половині довжини гіпотенузи, тобто
LM = NM = OL.
З цього випливає, що трикутники , і є рівнобедреними, а тому:
LÔM = NML = 2 LĈM
Але LCM = COA, оскільки прямі і є паралельними, тому LÔM = 2 CÔA або також
BÔA = LÔA = 3 CÔA
Подвоєння куба
Задача подвоєння куба фактично полягає у побудові відрізка довжиною для заданого відрізка довжиною
Позначивши алгоритм подвоєння куба з використанням конхоїди Нікомеда можна описати за допомогою послідовних кроків, зображених на рисунку праворуч:
Побудова прямокутника для заданого відрізка довжиною де довжина сторони є рівною і ; тобто інша сторона прямокутника є вдвічі довшою ніж початкова. Побудова точки що ділить сторону навпіл. Побудова прямої лінії через точки і , визначення точки на перетині цієї прямої із прямою, що містить сторону Довжина відрізка є рівною довжині відрізка Побудова точки що ділить сторону навпіл. Побудова прямої перпендикулярної до що проходить через точку Побудова кола, з центром у точці що проходить через точку (його радіус буде рівним . Нехай є перетином цього кола із перпендикуляром із попереднього пункту. Побудова прямої , що проходить через і є паралельною до прямої Побудова конхоїди Нікомеда із полюсом , прямою і відстанню . Нехай позначає перетин кривої із прямою Побудова точки , як точки перетину прямих і Довжина тоді і буде рівною
Доведення
Позначимо і . Тоді і і, з теореми Піфагора:
З подібності трикутників випливає, що і оскільки і то з попередніх пропорцій випливає, що:
Після піднесення до квадрату
або
Попередня рівність еквівалентна або після спрощення
Оскільки не є рівним нулю, то тобто
З подібності трикутників ми маємо, що і, отже, або по іншому Після піднесення до кубу і з використанням рівності випливає що або спрощуючи
Враховуючи, що то також
Остаточно
тобто довжина буде рівною
Див. також Конхоїда Подвоєння куба Трисекція кута
Джерела
Conchoid of Nicomedes. Опис на проекті 3D-XploreMath