Міра множини — спільна назва різних типів узагальнень понять евклідової довжини, площі плоских фігур та -вимірного об'єму для загальніших просторів.
Якщо зворотне не вказане явно, то зазвичай йдеться про зліченно-адитивну міру.
Поняття міри виникло в теорії функції дійсної змінної, а звідти перейшло до теорії ймовірностей, теорії динамічних систем, функціонального аналізу та багато інших областей математики.
Визначення Теорія міри та інтеграла Лебега була розроблена на початку XX ст. у зв'язку з потребами аналізу та теорії функцій. Абстрактний варіант теорії є математичною основою ряду теоретичних і прикладних розділів сучасної математики.
Скінчено-адитивна міра
Нехай задано простір з виділеним класом підмножин , замкненим щодо скінчених перетинів та об'єднань. Функція називається скінчено-адитивною мірою, якщо вона задовольняє наступним умовам: ; Якщо — скінчене сімейство попарно неперетинних множин із , тобто , то .
Альтернативне визначення
Функція множини називається мірою, якщо: область визначення функції є напівкільце множин. значення — адитивна, тобто, для довільного скінченого розкладу , буде виконуватись рівність
Система множин називається напівкільцем, якщо вона містить порожню множину, замкнена у відношенні до утворення перетинів, і якщо з приналежності до множини та випливає можливість представлення множини у вигляді об'єднання , де — попарно неперетинаючі множини з , перша з яких є задана множина .
Злічено-адитивна міра
Нехай задано простір з виділеною σ-алгеброю . Функція називається злічено-адитивною (або σ-адитивною) мірою, якщо вона задовольняє наступним вимогам:
(σ-адитивність) Якщо — злічене сімейство множин, що попарно не перетинаються з , тобто , то .
Продовження міри
Міра називається продовженням міри , якщо і для кожної виконується рівність:
При цьому, для кожної міри , заданої на деякому напівкільці існує єдине продовження , що має як область визначення кільце (тобто, мінімальне кільце над ).
Примітки Довільна злічено-адитивна міра є скінчено-адитивною, але не навпаки. Якщо міра всього простору скінчена, тобто , то така міра називається скінченою. В протилежному випадку міра нескінчена. На прямій та двовимірній площині існує нескінчена кількість продовжень міри Лебега з σ-алгебри, породжуваної відкритими підмножинами, на множину всіх множин, що зберігає скінчену адитивність міри. Для жодного з нетривіальних евклідових просторів не існує будь-якого злічено-адитивного розширення міри Лебега на множину всіх його підмножин.
Приклади Міра Жордана — приклад скінчено-адитивної міри; Міра Лебега — приклад нескінченої міри; Імовірність — приклад скінченої міри.
Див. також
Векторна міра Вимірна множина Заряд (теорія міри) Комплексна міра Метричний простір
Джерела