У математиці сепаратриса (від  — окремо) — це межа, що розділяє два режими поведінки, що описуються диференціальними рівняннями.Blanchard, Paul, Differential Equations, 4th ed., 2012, Brooks/Cole, Boston, MA, pg. 469.

Іншими словами:

Сепаратриса — це фазова траєкторія, що розмежовує інші траєкторії різного фазового типу.

Приклади

Простий маятник Розглянемо диференціальне рівняння, що описує рух простого маятника:

де  — довжина маятника,  — прискорення сили тяжіння і  — кут між маятником і вертикаллю вниз. У цій системі існує збережувана величина (гамільтоніан), яка визначається як

З цим визначенням можна побудувати траєкторію константи у фазовому просторі системи. Фазовий простір являє собою графік із по горизонтальній осі і по вертикальній осі — див. рисунок праворуч. Тип отриманої траєкторії залежить від значення .

Якщо , то траєкторії не існує (оскільки має бути уявним).

Якщо , то траєкторія буде простою замкнутою кривою, яка є майже колом для малих і набуває форми «ока», коли наближається до верхньої межі. Ці траєкторії відповідають маятнику, який періодично коливається з боку в бік.

Якщо , то траєкторія незамкнута, і це відповідає маятнику, який вічно коливається повними колами.

У цій системі сепаратрисою є крива, яка відповідає . Вона розділяє фазовий простір на дві окремі області, кожна з яких має свій тип руху. Область усередині сепаратриси містить усі траєкторії фазового простору, які відповідають маятнику, що коливається вперед і назад, тоді як область поза сепаратрисою містить усі траєкторії фазового простору, які відповідають безперервному обертанню маятника по колу у вертикальних площинах.

Модель Фіцг'ю — Нагумо

У моделі Фітцг'ю — Нагумо, коли лінійна пронизує кубічну нулькліну на лівій, середній і правій гілках по одному разу, система має сепаратрису. Траєкторії ліворуч від сепаратриси збігаються до лівої стійкої рівноваги, і аналогічно для правої. Сама сепаратриса є для сідлової точки в середині.

Сепаратрису можна чітко побачити шляхом чисельного розв'язання траєкторій назад у часі. Оскільки при розв'язуванні траєкторій уперед у часі вони розходяться від сепаратриси, то при розв'язанні назад у часі траєкторії збігаються до сепаратриси.

Примітки

Література Logan, J. David, Applied Mathematics, 3rd Ed. , 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, pg. 65.

Посилання