У диференціальній геометрії головні кривини поверхні в точці — це екстремальні значення нормальних кривин у цій точці. Вони вимірюють, наскільки сильно поверхня вигинається в різних напрямках у даній точці.
Означення Нехай та — матриці першої та другої квадратичних форм поверхні в точці відповідно, тобто
Головними кривинами поверхні в точці називаються розв'язки рівняння
Дотичний вектор називається головним напрямком на поверхні в точці , якщо він задовольняє умові де
Властивості Якщо та співпадають, то будь-який напрямок у відповідній дотичній площині є головним. Інакше головних напрямків буде двоє, причому вони будуть ортогональними.
Нехай — кут між деяким дотичним вектором в точці та головним напрямком, який відповідає головній кривині в точці . Тоді для нормальної кривини в у напрямку справедлива формула Ейлера
Наслідком з наведеної формули є те, що нормальна кривина поверхні в точці досягає найменшого та найбільшого значень в головних напрямках цієї точки.
Гауссова та середня кривини
Гауссовою кривиною поверхні в точці називається добуток головних кривин поверхні в цій точці:
Середньою кривиною поверхні в точці називається половина суми головних кривин поверхні в цій точці:
Якщо ці величини відомі, то головні кривини будуть коренями рівняння
Класифікація точок поверхні Точка поверхні називається еліптичною, якщо в ній Якщо при цьому то точка називається омбілічною (або точкою округлення).
Точка поверхні називається гіперболічною, якщо в ній
Точка поверхні називається параболічною, якщо в ній причому Якщо то точка поверхні називається точкою сплощення.
Лінія кривини Крива на поверхні називається лінією кривини цієї поверхні, якщо головний напрямок на у кожній точці кривої є дотичним вектором до в точці .
Знаходити лінії кривини поверхні можна за допомогою наступного диференціального рівняння:
де , та — коефіцієнти першої квадратичної форми поверхні , а , та — коефіцієнти другої квадратичної форми поверхні .
Див. також Теорема Меньє
Примітки
Джерела