Теорема тангенсів — тригонометричне твердження, що описує властивості довільного трикутника на площині.
Теорема тангенсів, хоча й не настільки широко відома як теорема синусів або теорема косинусів, достатньо корисна, і може бути використана в тих випадках, коли відомі дві сторони і один кут, або, навпаки, два кути й одна сторона.
Формулювання Нехай відомі дві сторони a і b довільного трикутника і протилежні їм кути A і B, тоді теорема тангенсів стверджує, що
Доведення Почнемо із (a + b)/(a — b). ((sin A)/a = (sin B)/b із теореми синусів):
(Дивись: Тригонометричні функції)
Доведення з використанням формул Мольвейде Формули Мольвейде мають такий вигляд:
де — значення кутів при відповідних вершинах трикутника і — довжини сторін відповідно між вершинами і , і , і .
Поділивши порізно праві і ліві частини двох останніх рівностей і прирівнявши два отриманих результати, маємо
З урахуванням того, що , остаточно маємо:
що й потрібно було довести.
Історія Теорему тангенсів для сферичних кутів описав у XIII столітті перським математиком Насир ад-Дін ат-Тусі (1201—1274), який у своїй п'ятитомній роботі Трактат про повний чотирикутник також навів теорему синусів для плоских трикутників.
Теорему також називають формулою Реґіомонтана за ім'ям німецького астронома й математика Йоганна Мюллера (), який отримав цю формулу. Й. Мюллера називали «Кенігсбержцем»: німецькою König — король, Berg — гора, а латинською «король» і «гора» в родовому відмінку — regis і montis . Звідси «Реґіомонтан» — латинізоване прізвисько Й. Мюллера.О. В. Мантуров. Толковый словарь математических терминов
Див. також Теорема синусів Теорема косинусів
Примітки