У математиці діаметром множини точок метричного простору називають найбільшу відстаннь між точками множині. Важливий окремий випадок, коли діаметр метричного простору є найбільшою відстанню між будь-якими двома точками простору. Це узагальнює діаметр кола, коли він є найбільшою відстанню між двома точками на колі. Таке використання діаметра також зустрічається в медичній термінології щодо ураження або в геології щодо гірської породи.
Обмежена множина — це множина, діаметр якої скінченний. У межах обмеженої множини всі відстані не перевищують діаметр.
Формальне визначення Діаметр об'єкта — це найменша верхня межа (позначається як «sup») множини всіх відстаней між парами точок в об'єкті. Явно, якщо — це множина точок із відстанями, які визначаються метрикою , то діаметр
Для порожньої множини Діаметр порожньої множини може визначатися по різному. Його можна визначити як нуль, , або залишити невизначеним.
В евклідовому просторі Для будь-якої обмеженої множини в евклідовій площині або евклідовому просторі діаметр об'єкта або множини дорівнює діаметру його опуклої оболонки. Для будь-якої опуклої фігури на площині діаметр — це найбільша відстань, яка може бути утворена між двома протилежними паралельними прямими, дотичними до її межі.
Відношення до інших мір Діаметр кола рівно вдвічі більший за його радіус. Однак це справедливо лише для кола і лише в евклідовій метриці. Теорема Юнга надає більш загальні нерівності, що зв'язують діаметр з радіусом. Ізодіаметрична нерівність або нерівність Бібербаха, споріднена з ізопериметричною нерівністю, стверджує, що для заданого діаметра плоска форма з найбільшою площею є диском, а тривимірна форма з найбільшим об'ємом є сферою. Багатокутники з максимальною площею при заданому діаметрі та кількості сторін — це, так звані, найбільші маленькі багатокутники.
Подібно до того, як діаметром двовимірної опуклої множини називається найбільша відстань між двома паралельними прямими, що дотичні до множини і обмежують її, ширину часто визначають як найменшу таку відстань. Діаметр і ширина рівні лише для тіла постійної ширини, у якого всі пари паралельних дотичних площин розташовані на однаковій відстані. Кожна множина обмеженого діаметра на евклідовій площині є підмножиною тіла постійної ширини з тим самим діаметром.
Обчислення
Діаметр або ширину двовимірного набору точок або багатокутника можна ефективно обчислити за допомогою . Алгоритми для обчислення діаметрів у багатовимірних евклідових просторах також досліджуються в обчислювальній геометрії; див. .
У диференціальній геометрії У диференціальній геометрії діаметр є важливим глобальним рімановим інваріантом. Кожен компакт у рімановому многовиді та кожен компактний рімановий многовид має скінченний діаметр. Наприклад, одинична сфера будь-якої розмірності розглядається як рімановий многовид та має діаметр . Це значення діаметра відрізняється від випадку, коли сфера розглядається як підмножина евклідового простору (тоді діаметр би дорівнював двом), тому що, на сфері, як для ріманового многовида, відстані вимірюються вздовж геодезичних.
У рімановому многовиді, кривина Річчі якого має додатну сталу нижню межу, за теоремою Майєрса, діаметр також обмежений. Згідно з теоремою Ченга про максимальний діаметр, єдиний многовид з найбільшим діаметром для заданої нижньої межі кривини — це сфера з такою кривиною. Теорема названа на честь , який опублікував її в 1975 році.
Для графів У теорії графів діаметр зв'язного неорієнтованого графа — це найбільша відстань між будь-якими двома його вершинами. Тобто, це діаметр множини для множини вершин графа та для відстані найкоротшого шляху в графі. Діаметр можна розглядати як для зважених, так і для незважених графів. Розв'язувалася задача обчислення діаметра як у довільних графах, так і в спеціальних класах графів.
Окремими випадками діаметра графа є , визначений за допомогою графа Кейлі з найбільшим діаметром, можливим для даної групи, і тріангуляцій множини точок — мінімальна кількість локальних переміщень, необхідних для перетворення однієї тріангуляції в іншу для двох тріангуляцій, вибраних на максимально можливій відстані одна від одної.
Список літератури