Моде́ль Ра́ша (), названа на честь , — це психометрична модель для аналізу категорійних даних, зокрема відповідей на питання в тестах на читання та анкетних відповідей, як функції співвідношення між здібностями, ставленнями чи рисами особистості респондента, та складністю завдань. Наприклад, її можна використовувати для оцінювання рівня читацьких навичок учня або ступеня радикальності ставлення людини до смертної кари на основі анкетування. Окрім психометрії та освітніх досліджень, модель Раша та її розширення застосовують в інших галузях, зокрема в охороні здоров'я, сільському господарстві та ринкових дослідженнях.
Математична теорія, що лежить в основі моделей Раша, є окремим випадком теорії відгуку завдання (). Втім, існують важливі відмінності в інтерпретації параметрів моделі та її філософських наслідках, які відмежовують прихильників моделі Раша від традиції моделювання відгуку завдання. Центральним аспектом цієї відмінності є роль , яку вважав визначальною властивістю моделі Раша й необхідною умовою успішного вимірювання.
Огляд
Модель Раша для вимірювання У моделі Раша ймовірність конкретного відгуку (наприклад, правильної чи неправильної відповіді) моделюють як функцію параметрів особи та завдання. Конкретніше, в оригінальній моделі Раша ймовірність правильної відповіді моделюють як логістичну функцію різниці між параметром особи та завдання. Математичний вигляд цієї моделі наведено нижче в цій статті. У більшості контекстів параметри моделі характеризують компетентність респондентів і складність завдань як розташування на неперервній латентній змінній. Наприклад, в освітніх тестах параметри завдань подають їхню складність, тоді як параметри осіб — рівень здібностей чи досягнень тих, кого оцінюють. Що вищий рівень здібностей особи за складність завдання, то вища ймовірність правильної відповіді у цьому завданні. Коли розташування особи на латентній ознаці дорівнює складності завдання, ймовірність правильної відповіді за моделлю Раша становить за визначенням 0,5.
Модель Раша є моделлю в тому сенсі, що вона описує структуру, яку мають проявляти дані для того, щоби з них було можливо отримувати вимірювання; тобто вона пропонує критерій успішного вимірювання. Понад те, рівняння Раша моделюють не лише дані, але й очікувані співвідношення в реальному світі. Наприклад, освіта має на меті підготувати дітей до всього спектра викликів, з якими вони стикнуться в житті, а не лише до завдань у підручниках чи тестах. Вимагаючи незмінності (інваріантності) вимірювань на різних тестах, що оцінюють те саме, моделі Раша дозволяють перевірити гіпотезу про те, що конкретні виклики, подані в навчальній програмі й тестах, узгоджено подають нескінченну сукупність можливих викликів у цій галузі. Модель Раша відтак є моделлю також у сенсі ідеалу або стандарту, який пропонує евристичну вигадку, що слугує корисним організаційним принципом, навіть якщо його насправді ніколи не спостерігають на практиці.
Парадигма, що лежить в основі моделі Раша, відрізняється від парадигми, яка лежить в основі статистичного моделювання. Моделі найчастіше використовують із наміром описати набір даних. Параметри змінюють, приймають або відкидають залежно від того, наскільки добре вони допасовуються до даних. На відміну від цього, при застосуванні моделі Раша метою є отримання даних, допасованих до моделі. Аргументом на користь такого підходу є те, що модель Раша втілює вимоги, яких необхідно дотримуватись для отримання вимірювання — у тому сенсі, в якому вимірювання зазвичай розуміють у фізичних науках.
Корисною аналогією для розуміння цієї логіки є вимірювання об'єктів за допомогою ваг. Припустімо, що вага об'єкта A одного разу вимірюється як суттєво більша за вагу об'єкта B, а потім одразу же вага об'єкта B вимірюється як суттєво більша за вагу об'єкта A. Властивість, якої ми вимагаємо від вимірювань, полягає в тому, що результат порівняння між об'єктами має залишатися незмінним, або інваріантним, незалежно від інших чинників. Цю ключову вимогу втілено у формальній структурі моделі Раша. Відповідно, модель Раша не змінюють, щоби вона відповідала даним. Натомість змінюють метод оцінювання так, щоби було дотримано цієї вимоги — подібно до того, як слід виправити ваги, якщо вони дають різні порівняння між об'єктами за повторного зважування.
Дані, які аналізують за допомогою цієї моделі, зазвичай є відгуками звичайних завдань у тестах, як-от освітніх тестах із правильними та неправильними відповідями. Проте ця модель загальна, і її можливо застосовувати в будь-яких випадках, коли отримують дискретні дані з метою вимірювання кількісної ознаки або риси.
Шкалювання
Коли всі учасники тестування мають змогу пройти всі завдання одного тесту, кожному сумарному балу на тесті відповідає унікальна оцінка здібностей, і що вищий цей сумарний бал, то вища ця оцінка здібностей. Сумарні бали не мають лінійного зв'язку з оцінками здібностей. Натомість цей зв'язок нелінійний, як показано на рис. 1. Сумарний бал зображено на вертикальній осі, а відповідну оцінку розташування особи — на горизонтальній. Для конкретного тесту, на якому ґрунтується характеристична крива тесту (ХКТ, ), показана на рис. 1, зв'язок приблизно лінійний у проміжку сумарних балів приблизно від 13 до 31. Форма ХКТ зазвичай дещо сигмоїдна, як у цьому прикладі. Проте точний зв'язок між сумарними балами та оцінками розташування особи залежить від розподілу завдань у тесті. Крива ХКТ крутіша в тих ділянках континууму, де завдань більше, як-от у проміжку навколо 0 на рис. 1 і 2.
При застосуванні моделі Раша розташування завдань зазвичай шкалюють першими, на основі таких методів, як описано нижче. Цей етап процесу шкалювання часто називають калібруванням завдань (). В освітніх тестах, що менша частка правильних відповідей, то вищою є складність завдання, а отже, і його розташування на шкалі. Після шкалювання завдань вимірюють розташування осіб на тій же шкалі. В результаті, розташування осіб і завдань оцінюють на єдиній шкалі, як показано на рис. 2.
Інтерпретування розташувань на шкалі
Для дихотомних даних, таких як правильні/неправильні відповіді, розташування завдання на шкалі за визначенням відповідає розташуванню особи, за якого ймовірність правильної відповіді на питання становить 0,5. Загалом, імовірність правильної відповіді особою на питання, складність якого менша за розташування особи, перевищує 0,5, тоді як імовірність правильної відповіді особою на питання, складність якого вища за розташування особи, менша за 0,5. Характеристична крива завдання (ХКЗ, ), або функція відгуку завдання (ФВЗ, ), показує ймовірність правильної відповіді як функцію від здібностей особи. Одну ХКЗ показано й докладніше пояснено у зв'язку з рис. 4 у цій статті (див. також функцію відгуку завдання). Найлівіші ХКЗ на рис. 3 відповідають найлегшим завданням, а найправіші — найскладнішим.
Коли відповіді особи впорядковують за складністю завдань, від найпростішого до найскладнішого, то скоріше за все отримують схему або вектор , тобто {1,1,…,1,0,0,0,…,0}. Проте, хоч така схема і є найімовірнішою за структури моделі Раша, сама модель вимагає лише ймовірнісних ґуттманових схем відповідей, тобто таких, які наближаються до цієї схеми. Незвично, щоби відповіді строго відповідали такій схемі, адже можливі численні варіації. Відповіді не мусять строго відповідати цій схемі, щоби дані відповідали моделі Раша.
Кожна оцінка здібностей має пов'язану з нею стандартну похибку вимірювання, яка кількісно відображає рівень невизначеності цієї оцінки. Оцінки завдань також мають стандартні похибки. Загалом стандартні похибки оцінок завдань значно менші за стандартні похибки оцінок осіб, оскільки зазвичай для кожного завдання наявно більше даних відповідей, ніж для кожної окремої особи. Тобто, кількість людей, які виконали певне завдання, зазвичай більша, ніж кількість завдань, виконаних певною особою. Стандартні похибки оцінок осіб менші там, де нахил ХКЗ крутіший — зазвичай це середній проміжок балів на тесті. Відповідно, у цьому проміжку точність вища, адже що крутіший нахил кривої, то чіткіше розрізнення між будь-якими двома точками на ній.
Для оцінки відповідності даних цій моделі застосовують статистичні та графічні перевірки. Деякі з них глобальні, а інші зосереджені на окремих завданнях або особах. Окремі перевірки відповідності надають інформацію про те, які завдання можливо використати для підвищення надійності тесту шляхом вилучення або коригування проблемних завдань. У вимірюванні за Рашем замість традиційних індексів надійності використовують індекс розділення осіб (). Проте він аналогічний індексу надійності. Індекс розділення є співвідношенням фактичного розділення з розділенням з урахуванням похибки вимірювання. Як зазначено раніше, рівень похибки вимірювання не рівномірний над усім діапазоном тесту, а зазвичай більший на крайніх значеннях шкали (низьких і високих).
Властивості моделі Раша Цей клас моделей названо на честь , данського математика і статистика, який обґрунтував епістемологічну доцільність цих моделей через їхню узгодженість із ключовою вимогою вимірювання у фізиці — вимогою інваріантного порівняння. Це визначальна риса цього класу моделей, докладніше розглянута в наступному розділі. Модель Раша для дихотомних даних має тісний концептуальний зв'язок із (), моделлю, яку розробив і широко застосовував Л. Л. Терстоун, а відтак — і зі .
Перед тим як запровадити модель вимірювання, з якою його найбільше пов'язують, Раш застосовував як модель вимірювання до даних читання розподіл Пуассона, висунувши гіпотезу, що у відповідному емпіричному контексті кількість помилок, зроблених заданою особою, визначається співвідношенням складності тексту та читацьких здібностей цієї особи. Раш називав цю модель мультиплікативною пуассонівською моделлю (). Модель Раша для дихотомних даних — тобто де відповіді класифікуються на дві категорії — найвідоміша й найуживаніша модель, і основним предметом розгляду тут є вона. Ця модель має вигляд простої логістичної функції.
Стислий виклад вище висвітлює певні відмінні й взаємопов'язані риси підходу Раша до суспільного вимірювання, зокрема такі:
Основною його метою було вимірювання осіб, а не розподілів у сукупностях. Він прагнув встановити підґрунтя для задоволення апріорних вимог до вимірювання, виведених із фізики, і, відповідно, не вдавався до жодних припущень щодо розподілу рівнів риси в сукупності. Підхід Раша явним чином визнає, що твердження про кількісність і вимірюваність певної ознаки в конкретному експериментальному контексті є науковою гіпотезою.
Отже, відповідно до підходу, викладеного Томасом Куном у його статті 1961 року «Функція вимірювання у сучасній фізичній науці», вимірювання розглядають водночас як засноване на теорії, і як інструмент для виявляння кількісних аномалій, неузгоджених із гіпотезами ширшої теоретичної системи. Цей підхід контрастує із загальноприйнятим у суспільних науках, де дані, як-от тестові бали, безпосередньо трактують як вимірювання, без потреби в теоретичному обґрунтуванні самого вимірювання. Хоч така відмінність і існує, підхід Раша фактично доповнює використання статистичного аналізу або моделювання, які вимагають вимірювання на рівні проміжків, адже саме для отримання таких вимірювань і застосовують модель Раша. Застосування моделей Раша докладно описано в численних джерелах.Серед них:
Інваріантне порівняння та достатність
Модель Раша для дихотомних даних часто розглядають як модель теорії відгуку завдання (ТВЗ, ) з одним параметром завдання. Проте, замість різновиду ТВЗ, прихильники цієї моделі вважають її моделлю, що має властивість, яка відрізняє її від інших моделей ТВЗ. Зокрема, визначальною властивістю моделей Раша є їхнє формальне або математичне втілення принципу інваріантного порівняння. Раш підсумував цей принцип так:
Порівняння між двома стимулами має бути незалежним від того, які саме особи брали участь у порівнянні; і воно також має бути незалежним від того, які інші стимули з розглядуваного класу були або могли бути також порівняні.