Нерівність Карлемана — нерівність в математиці, названа ім'ям шведського математика Торстена Карлемана, який довів її в 1923T. Carleman, Sur les fonctions quasi-analytiques, Conférences faites au cinquième congres des mathématiciens Scandinaves, Helsinki (1923), 181-196. і використав для доведення теореми Денжу–Карлемана про квазі-аналітичні класи.
Дискретна версія
Якщо — послідовність невід'ємних дійсних чисел, то
Константа (число Ейлера) в нерівності є оптимальною, тобто нерівність не буде справедливою для меншого числа. Нерівність є строгою якщо в послідовності є ненульові елементи.
Інтегральна версія
для будь-якої f ≥ 0.
Узагальнення
Узагальнення Леннарта Карлесона:
для будь-якої опуклої функції g із g(0) = 0, і будь-якого -1 < p < ∞,
Перетворюється в нерівність Карлемана при p = 0.
Доведення Безпосереднє З нерівності нерівності MA-MG для чисел маємо
де MG — середнє геометричне MA — середнє арифметичне. Формула Стірлінга: для дає
for all
Тому,
отже
Нерівність Карлемана для ненульових чисел завжди є строгою, бо гармонічний ряд є розбіжним.
З використанням нерівності Гарді
для невід'ємних чисел , ,… та , заміняючи на , і спрямовуючи .
Примітки