Співвідно́шення ша́нсів (СШ, ) — це статистика, яка кількісно оцінює силу пов'язаності двох подій A та B. Співвідношення шансів визначають як співвідношення шансів настання події A за наявності B з шансами настання A за відсутності B. Через симетричність, співвідношення шансів навзаєм розраховує й співвідношення шансів настання B за наявності A з шансами настання B за відсутності A. Дві події незалежні тоді й лише тоді, коли СШ дорівнює 1, тобто шанси однієї події однакові незалежно від наявності чи відсутності іншої. Якщо СШ більше за 1, то A і B пов'язані (корельовані) в тому сенсі, що, порівняно з відсутністю B, наявність B підвищує шанси настання A, і симетрично — наявність A підвищує шанси B. І навпаки, якщо СШ менше за 1, то A і B негативно корельовані, і наявність однієї події знижує шанси настання іншої.
Зверніть увагу, що співвідношення шансів симетричне щодо двох подій і не вказує причинності (корелювання не означає спричинювання): СШ понад 1 не доводить, що B спричинює A, чи що A спричинює B.
Дві подібні статистики, які також часто використовують для кількісного оцінювання пов'язаності, — це відносний ризик (ВР) і абсолютне зниження ризику (АЗР). Часто найцікавішим параметром є саме ВР — співвідношення ймовірностей, аналогічне до шансів, які використовують у СШ. Проте доступні дані часто не дозволяють обчислити ВР чи АЗР, але дозволяють обчислити СШ, як у дослідженнях «випадок—контроль», про що йдеться нижче. З іншого боку, якщо одна з подій (A або B) достатньо рідкісна (в епідеміології це називають ), то СШ приблизно дорівнює відповідному ВР.
СШ відіграє важливу роль у логістичній моделі.
Визначення та основні властивості
Інтуїтивне пояснення на прикладі для нефахівців
Якщо підкинути симетричну монету, ймовірність випадіння аверса і ймовірність випадіння реверса однакові — обидві становлять 50 %. Уявімо тепер, що ми маємо несиметричну монету, таку що ймовірність випадіння аверса вдвічі більша за ймовірність реверса (тобто шанси подвоюються: з 1:1 до 2:1). Нові ймовірності становитимуть 66,666... % для аверса і 33,333... % для реверса.
Пояснювальний приклад у контексті
Припустімо, що витік радіації в селі з 1000 мешканців підвищив частоту випадків рідкісного захворювання. Загальна кількість осіб, які зазнали впливу радіації, становила з яких захворіли, а залишилися здоровими. Загальна кількість осіб, які не зазнали впливу, становила з яких захворіли, а залишилися здоровими. Це можливо подати у вигляді таблиці спряженості:
Ризик захворіти за умови впливу становить , а ризик захворіти за відсутності впливу — . Один очевидний спосіб порівняти ці ризики — скористатися їхнім співвідношенням, тобто відносним ризиком:
Співвідношення шансів дає інше значення. Шанси захворіти за наявності впливу становлять , а шанси за відсутності впливу — Співвідношення шансів — це частка цих двох величин:
Як показано в цьому прикладі, у відносний ризик і співвідношення шансів майже збігаються. За визначенням, рідкісне захворювання означає, що і . Отже, знаменники у формулах відносного ризику і співвідношення шансів майже однакові ( і .
Відносний ризик піддається розумінню легше, ніж співвідношення шансів, проте одна з причин користуватися співвідношенням шансів полягає в тому, що зазвичай дані про всю сукупність відсутні, й доводиться використовувати випадкову вибірку. У наведеному прикладі, якщо було би дуже дорого опитати мешканців села і з'ясувати, чи зазнали вони впливу радіації, то поширеність впливу радіації залишалась би невідомою, як і значення та . Можливо було би відібрати випадкову вибірку з 50 мешканців, проте цілком можливо, що в ній не виявилося би жодного хворого, оскільки захворіли лише 2,6 % населення. Замість цього доцільно застосувати дослідження «випадок—контроль», у якому опитують усіх 26 хворих мешканців, а також випадкову вибірку з 26 здорових. Результати можуть бути такими («можуть», бо це випадкова вибірка):
У цій вибірці шанси захворіти за умови впливу становлять 20/10, а шанси захворіти за відсутності впливу — 6/16. Отже, співвідношення шансів становить , досить близько до співвідношення шансів, обчисленого для всього села. Відносний ризик, проте, обчислити неможливо, оскільки це співвідношення ризиків захворювання, для якого потрібно знати та . Оскільки дослідження було побудоване з урахуванням хворих людей, половина учасників вибірки хворі, і це більше, ніж поширеність хвороби в загальній сукупності. Таким чином кількості хворих і здорових серед тих, хто зазнали впливу, та кількості хворих і здорових серед тих, хто не зазнали впливу, не підсумовні.
У медичній літературі загальноприйнято обчислювати співвідношення шансів і потім, користуючись припущенням рідкісності захворювання (яке зазвичай обґрунтоване), вважати, що відносний ризик приблизно дорівнює співвідношенню шансів. Це не лише дозволяє використовувати дослідження «випадок—контроль», а й спрощує врахування змішувальних змінних (як-от ваги або віку) в регресійному аналізі, а також має бажані властивості, описані в інших розділах цієї статті: інваріантність і нечутливість до типу вибірки.
Визначення через шанси в групах
Співвідношення шансів — це співвідношення шансів настання події в одній групі з шансами її настання в іншій групі. Цей термін також використовують для позначення оцінок цього співвідношення на основі вибірки. Такі групи можуть бути, наприклад, чоловіки й жінки, експериментальна група і контрольна група, або будь-який інший дихотомний поділ. Якщо ймовірності події в кожній з груп — p1 (для першої групи) й p2 (для другої групи), то співвідношення шансів становить
де qx = 1 − px. Співвідношення шансів, що дорівнює 1, вказує на те, що досліджувана умова або подія однаково ймовірна в обох групах. Співвідношення шансів понад 1 вказує, що ця умова або подія ймовірніша в першій групі. Співвідношення шансів менше за 1 вказує, що ця умова або подія менш імовірна в першій групі. Якщо співвідношення визначене, воно не може бути від'ємним. Воно невизначене, якщо дорівнює нулю, тобто якщо або .
Визначення через спільні та умовні ймовірності
Співвідношення шансів також можливо визначити через спільний розподіл імовірності двох бінарних випадкових величин. Спільний розподіл бінарних випадкових величин і можливо записати як
де 11, 10, 01 і 00 — невід'ємні «ймовірності комірок», що в сумі дають одиницю. Шанси для у двох підсукупностях, визначених як = 1 і = 0, визначаються через умовні ймовірності за , тобто :
Отже, співвідношення шансів становить:
Зверніть увагу, що співвідношення шансів також дорівнює добутку ймовірностей «узгоджених комірок» , поділеному на добуток імовірностей «неузгоджених комірок» . Втім, у деяких застосуваннях позначення категорій як нуль та одиниця є довільним, тож у таких випадках узгоджені й неузгоджені значення не мають особливого сенсу.
Симетричність
Якби ми обчислювали співвідношення шансів на основі умовних імовірностей за Y, тобто
то отримали би те саме значення:
Інші міри для , як-от відносний ризик, цієї властивості симетричності не мають.
Зв'язок зі статистичною незалежністю
Якщо X та Y незалежні, то їхні спільні ймовірності можливо виразити через їхні відособлені ймовірності та наступним чином:
У цьому випадку співвідношення шансів дорівнює одиниці, й навпаки: співвідношення шансів дорівнює одиниці лише тоді, коли спільні ймовірності можливо розкласти таким чином. Отже, співвідношення шансів дорівнює 1 тоді й лише тоді, коли X та Y незалежні.
Встановлення ймовірностей комірок на основі співвідношення шансів та відособлених імовірностей
Співвідношення шансів — це функція ймовірностей комірок, і навпаки: ці ймовірності можливо встановити, якщо відоме співвідношення шансів R та відособлені ймовірності та . Якщо співвідношення шансів R відрізняється від 1, то
де , а
У випадку, коли , ми маємо незалежність, тож .
Після обчислення решту трьох комірок імовірностей можливо легко встановити з відособлених імовірностей.
Приклад
Припустімо, що у вибірці зі 100 чоловіків (M) 90 вживали вино (D) протягом минулого тижня (а 10 — ні), тоді як у вибірці з 80 жінок лише 20 вживали вино (а 60 — ні). Це дає таблицю спряженості
Співвідношення шансів (СШ, ) можливо обчислити безпосередньо з цієї таблиці:
Іншими словами, шанси вживання вина серед чоловіків — 90 до 10, тобто 9:1, тоді як шанси вживання вина серед жінок — 20 до 60, тобто 1:3 = 0,33. Співвідношення шансів відтак становить 9 / 0,33, або 27, що показує, що чоловіки значно ймовірніше вживали вино, аніж жінки. Докладні обрахунки:
Цей приклад також ілюструє, що співвідношення шансів іноді чутливіші за відносний ризик: у цій вибірці чоловіки вживали вино у (90/100)/(20/80) = 3,6 раза частіше, а відповідні шанси вищі в 27 разів. Логарифм співвідношення шансів, різниця логітів імовірностей, пом'якшує цей ефект і забезпечує симетричність щодо впорядкування груп. Наприклад, при використанні натуральних логарифмів співвідношення шансів 27/1 відображається в 3,296, а співвідношення шансів 1/27 — у −3,296.
Статистичне висновування
Було розроблено декілька підходів до статистичного висновування для співвідношень шансів.
Один із них використовує великі ви́біркові наближення вибіркового розподілу логарифму співвідношення шансів (натурального логарифму співвідношення шансів). Якщо користуватися визначеним вище записом спільної ймовірності, то сукупнісний логарифм співвідношення шансів становить
Якщо спостерігати дані у вигляді таблиці спряженості
то ймовірності у спільному розподілі можливо оцінити як
де , а — сума кількостей усіх чотирьох комірок. Тоді вибірковий логарифм співвідношення шансів становить
.
Розподіл логарифма співвідношення шансів приблизно нормальний, де
Стандартна похибка логарифма співвідношення шансів становить приблизно
.
Це асимптотичне наближення, й воно не даватиме змістовного результату, якщо в одній з комірок дуже мала кількість спостережень. Якщо L — це вибірковий логарифм співвідношення шансів, то приблизний 95 %-вий довірчий інтервал для сукупнісного логарифма співвідношення шансів становить . Його можливо відобразити до для отримання 95 %-вого довірчого інтервалу для самого співвідношення шансів. Якщо перевіряти гіпотезу, що сукупнісне співвідношення шансів дорівнює одиниці, то двобічне p-значення становить , де P позначує ймовірність, а Z — стандартно нормально розподілена випадкова величина.
Інший підхід до висновування для співвідношень шансів розглядає розподіл даних, обумовлений відособленими частотами змінних X та Y. Перевагою цього підходу є те, що вибірковий розподіл співвідношення шансів можливо виразити точно.
Роль у логістичній регресії
Логістична регресія дозволяє узагальнити поняття співвідношення шансів поза межі двох бінарних змінних. Припустімо, що є бінарна змінна відгуку Y та бінарний передбачувач X, а на додачу й інші передбачувачі Z1, …, Zp, які можуть бути як бінарними, так і ні. Якщо здійснювати множинну логістичну регресію, моделюючи Y через X, Z1, …, Zp, то оцінюваний коефіцієнт для X пов'язаний із умовним співвідношенням шансів. Зокрема, на рівні сукупності виконується:
тому є оцінкою цього умовного співвідношення шансів. Інтерпретація — оцінка величини співвідношення шансів між Y та X при незмінних значеннях Z1, …, Zp.
Нечутливість до типу вибірки
Якщо дані утворюють «сукупнісну вибірку» (), то ймовірності комірок інтерпретують як частоти кожної з чотирьох груп у сукупності, визначених значеннями X та Y. У багатьох випадках отримати сукупнісну вибірку неможливо, тому використовують добірну вибірку (). Наприклад, можна вирішити вибрати з із заданою ймовірністю f, незалежно від їхньої частоти в популяції (що вимагало би вибирання одиниць з із імовірністю ). У такому випадку наші дані відповідатимуть таким спільним імовірностям: