У математиці регулярна мапа — це симетрична теселяція замкнутої поверхні . Точніше, регулярна мапа — це розкладання двовимірного многовиду (такого як сфера, тор або дійсна проективна площина ) на топологічні диски таким чином, що кожен прапорець (інцидентна трійка вершина-ребро-грань) може бути перетворений на будь-який інший прапорець за допомогою симетрії розкладання. Регулярні мапи є, в певному сенсі, топологічними узагальненнями правильних многогранників . Теорія мап та їх класифікація пов'язані з теорією поверхонь Рімана, гіперболічною геометрією та теорією Галуа . Регулярні мапи класифікуються за: родом та орієнтованістю опорної поверхні, графом, що лежить в основі, або групою автоморфізмів.

Огляд Регулярні відображення зазвичай визначаються та вивчаються трьома способами: топологічно, терією груп або теорією графів.

Топологічний підхід Згідно топології, карта — це 2-комірковий розклад компактного зв'язного 2-многовиду.

Рід g відображення M задається співвідношенням Ейлера що дорівнює якщо карта орієнтована, і якщо відображення неорієнтовне. Важливо, що для кожного орієнтовного роду, окрім тора, існує скінченна (ненульова) кількість регулярних відображень.

Теорія груп З теоретичної точки зору групи, перестановочне представлення регулярного відображення M є транзитивною групою перестановок. C, на множині прапорців, породжених трьома вільними інволюціями з нерухомою точкою r0, r1, r2, що задовольняють (r0r2)2= I. У цьому визначенні грані є орбітами F = <r0, r1>, ребра – це орбіти E = <r0, r2> а вершини – це орбіти V = <r1, r2>. Більш абстрактно, група автоморфізмів будь-якого регулярного відображення — це невироджений, гомоморфний образ групи трикутників - <2,m,n>.

Теорія графів З точки зору теорії графів, карта — це кубічний граф з краями, забарвленими в синій, жовтий, червоний колір, таким чином, що: зв'язна, кожна вершина інцидентна одному ребру кожного кольору, а цикли ребер, не пофарбованих у жовтий колір, мають довжину 4. Зауважте, що — це граф прапорців або мапа представленна графом (graph-encoded map GEM) карти, визначена на вершинному наборі прапорців і не є скелетом G = (V,E) відображення. Загалом, | | = 4|E|.

Мапа M є регулярною, якщо Aut(M) діє регулярно на прапорах. Aut(M) для регулярної мапи є транзитивною на вершинах, ребрах і гранях M.

Мапа M називається рефлексивною тоді й лише тоді, коли Aut(M) є регулярною та містить автоморфізм , який фіксує і вершину v, і грань f, але змінює порядок ребер на протилежний.

Мапа, яка є регулярною, але не рефлексивною, називається хіральною.

Приклади

Великий додекаедр — це регулярна мапа з п'ятикутними гранями на орієнтованій поверхні роду 4. Півкуб — це регулярна мапа типу {4,3} у проективній площині . Гемідодекаедр — це регулярна мапа, отримана шляхом п'ятикутного вбудовування графа Петерсена в проективну площину. p-осоедр — це регулярна мапа типу {2,p}. Мапа Діка — це регулярна мапа 12 восьмикутників на поверхні роду 3. Його базовий граф, граф Діка, також може утворювати регулярне відображення 16 шестикутників у торі.

Нижче наведено повний список регулярних мап на поверхнях з додатною ейлеровою характеристикою χ : сфера та проективна площина. χgSchläfliVert.EdgesFacesGroupOrderGraphNotes20{p,2}pp2C2 × Dihp4pCpDihedron20{2,p}2ppC2 × Dihp4pp-fold K2Hosohedron20{3,3}464S424K4Tetrahedron20{4,3}8126C2 × S448K4 × K2Cube20{3,4}6128C2 × S448K2,2,2Octahedron20{5,3}203012C2 × A5120Dodecahedron20{3,5}123020C2 × A5120K6 × K2Icosahedron1n1{2p,2}/2pp1Dih2p4pCpHemi-dihedron1n1{2,2p}/22ppDih2p4pp-fold K2Hemi-hosohedron1n1{4,3}/2463S424K4Hemicube1n1{3,4}/2364S4242-fold K3Hemioctahedron1n1{5,3}/210156A560Petersen graphHemidodecahedron1n1{3,5}/261510A560K6Hemi-icosahedron На зображеннях нижче показано три з 20 регулярних мап у потрійному торі, позначених їхніми типами Шлефлі.

Тороїдальні багатогранники +Приклад візуалізації у вигляді мереж{4,4}1,0 (v:1, e:2, f:1){4,4}1,1 (v:2, e:4, f:2){4,4}2,0 (v:4, e:8, f:4){4,4}2,1 (v:5, e:10, f:5){4,4}2,2 (v:8, e:16, f:8){3,6}1,0 (v:1, e:3, f:2){3,6}1,1 (v:3, e:9, f:6){3,6}2,0 (v:4, e:12, f:8){3,6}2,1 (v:7, e:21, f:14){3,6}2,2 (v:12, e:36, f:24){6,3}1,0 (v:2, e:3, f:1){6,3}1,1 (v:6, e:9, f:3){6,3}2,0 (v:8, e:12, f:4){6,3}2,1 (v:14, e:21, f:7){6,3}2,2 (v:24, e:36, f:12) Регулярні мапи існують як тороедричні багатогранники, що представляють собою скінченні частини евклідових мозаїк, накладених на поверхню двоциліндра як плоский тор . Вони позначені як {4,4}b,c для тих, що пов'язані з квадратною мозаїкою, {4,4}. {3,6}b,c пов'язані з трикутною мозаїкою, {3,6}, а {6,3}b,c пов'язані з гексагональною мозаїкою, {6,3}. b та c – натуральні числа. Існує 2 особливих випадки (b, 0) та (b, b) з відбивною симетрією, тоді як загальні випадки існують у хіральних парах (b, c) та (c, b).

Регулярні мапи виду {4,4} m ,0 можна представити як скінченний правильний косий багатогранник {4,4 | m }, який розглядається як квадратні грані дуопризми розміру m × m у 4-вимірах.

Ось приклад {4,4} 8,0, відображеного з площини як шахової дошки на циліндричний переріз та тор. Проекція з циліндра на тор спотворює геометрію у 3 вимірах, але може бути виконана без спотворення у 4 вимірах.

+Регулярні мапи з нульовою характеристикою ЕйлераχgSchläfliVert.EdgesFacesGroupOrderNotes01{4,4}b,0n=b2n2nn[4,4](b,0)8nFlat toroidal polyhedraSame as {4,4 | b}01{4,4}b,bn=2b2n2nn[4,4](b,b)8nFlat toroidal polyhedraSame as rectified {4,4 | b}01{4,4}b,cn=b2+c2n2nn[4,4]4nFlat chiral toroidal polyhedra01{3,6}b,0t=b2t3t2t[3,6](b,0)12tFlat toroidal polyhedra01{3,6}b,bt=3b2t3t2t[3,6](b,b)12tFlat toroidal polyhedra01{3,6}b,ct=b2+bc+c2t3t2t[3,6]6tFlat chiral toroidal polyhedra01{6,3}b,0t=b22t3tt[3,6](b,0)12tFlat toroidal polyhedra01{6,3}b,bt=3b22t3tt[3,6](b,b)12tFlat toroidal polyhedra01{6,3}b,ct=b2+bc+c22t3tt[3,6]6tFlat chiral toroidal polyhedra Загалом у регулярних тороїдальних многогранниках {p, q}b,c можна визначити, якщо p або q парні, хоча лише евклідові багатогранники вище можуть існувати як тороїдальні многогранники у 4-вимірах. У {2p, q} шляхи (b, c) можна визначити як ступінчасті грань-ребро-грань по прямих лініях, тоді як двоїсті форми {p, 2q} розглядатимуть шляхи (b, c) як ступінчасті вершина-ребро-вершина по прямих лініях.

Гіперболічні регулярні мапи Мапа {6,4} 3 можна розглядати як {6,4} 4,0 . Наступні протилежні ребра послідовно проходять через усі 4 шестикутники. Це існує в петріальному октаедрі {3,4} з 6 вершинами, 12 ребрами та 4 косими шестикутними гранями.

Див. також

Топологічна теорія графів Абстрактний багатогранник Планарний граф Тороїдальний граф Вкладення графа

Правильний многогранник Багатогранний граф

Посилання

Бібліографія

. . . . . . .