Функція Буземана — тип функцій на метричному просторі. Грубо кажучи, функцію Буземана можна розглядати як «відстань до нескінченно віддаленої точки».
Історія увів ці функції під ча вивчення глобальних властивостей метричних просторів. Пізніше їх використано в теорії ймовірностей для дослідження асимптотичних перколяцій.
Визначення Нехай — метричний простір. Назвемо променем криву , яка мінімізує відстань скрізь уздовж своєї довжини, тобто для всіх у природній параметризації виконується
.
Функція Буземана для променя γ, визначається як границя
Зауваження З нерівності трикутника випливає, що
для будь-якого . Разом з тим, функція
незростаюча. Тому функція Буземана завжди визначена для будь-якого променя .
За великих та фіксованого
Властивості У просторі Лобачевського, лінії рівня функцій Буземана утворюють орисфери.
Примітки