Функції Крилова (функції Крилова — Дункана) — система з чотирьох функцій, загальний розв'язок диференціального рівняння:
Загальний розв'язок рівняння (1) при виражається як лінійна комбінація чотирьох функцій:
,
де .
Зазвичай як функції , , , використовують , , і , але в задачах теорії пружності застосовують функції , , , спеціального виду, називані функціями Крилова, на честь математика О. М. Крилова, який застосував ці функції для опису згину балки, яка лежить на пружній основі. Іноді їх позначають символами , , , .
Незалежно їх увів англійський учений .
Визначення
Функції Крилова мають такий вигляд:
, , , .
Основна властивість функцій Крилова полягає в тому, що похідна від будь-якої з них дає попередню:
.
Крім того виконано такі початкові умови: при , перша функція дорівнює 1, а решта — рівні 0:
, .
Функції Крилова — Власова При розв'язок рівняння (1) виражається через функції
, , , ,
які називають функціями Крилова — Власова, на честь . Загальним розв'язком рівняння (1) при є лінійна комбінація чотирьох функцій (при ), де .
Найчастіше при розв'язуванні задач використовують різні комбінації функцій Крилова — Власова, які також називають функціями Крилова:
, , , .
Основні властивості функцій Крилова у цьому випадку майже зберігаються:
. , .
Див. також
Тригонометричні функції Гіперболічні функції Математика Геометрія
Примітки
Література Крылов А. Н. О расчёте балок, лежащих на упругом основании. — Л.: АН СССР, 1931. — 154 с.