Нерівність Дуба про кількість перетинів — це нерівність в теорії ймовірності, яка дозволяє оцінити зверху математичне сподівання кількості перетинів субмартингалом певного відрізка через довжину того відрізка та математичні сподівання субмартингала в початковий і кінцевий момент часу.
Позначення Визначимо для субмартингала та відрізка [a,b] наступну зростаючу послідовність моментів зупинки:
Визначимо наступну випадкову величину: . Ця випадкова величина відображає кількість перетинів відрізка знизу випадковим процесом .
Твердження Нехай — субмартингал. Тоді для будь-якого та дійсних чисел виконується
.
Доведення За нерівністю Єнсена — субмартингал, оскільки — це опукла вгору функція. Можна бачити, що . Також можна помітити, що моменти зупинки , введені раніше, будуть одночано моментами перетину субмартингалом відрізку . Покладемо . Тоді, якщо , то
.
Нескладно бачити, що перший доданок в правій частині нерівності більше або рівний . Оскільки — субмартингал, то . Таким чином, взявши математичне сподівання в вищенаведеній рівності, отримаємо нерівність з твердження теореми.
Застосування Дана теорема використовується для доведення існування випадкової величини та її інтегровності за умови рівномірної інтегровності субмартингала .
Див. також
Мартингал Випадкова величина Теорія ймовірностей Випадковий процес
Література
Посилання
https://ymsc.tsinghua.edu.cn/__local/C/52/3F/C5D51A288001B4EC1C5DD96D483_B373C07D_13805.pdf https://www.isa-afp.org/browser_info/current/AFP/Doob_Convergence/outline.pdf https://www.youtube.com/watch?v=pMs-bbtUu0I https://www.youtube.com/watch?v=QJG5zNAgMsk