Середня аномалія в небесній механіці — частка періоду еліптичної орбіти, що минула з моменту проходження тілом періцентру, виражена як кут, який можна використовувати для обчислення положення цього тіла в класичній задачі двох тіл. Це кутова відстань від перицентра, яку мало б фіктивне тіло, якби воно рухалося коловою орбітою зі сталою швидкістю з тим самим періодом обертання, що й фактичне тіло на його еліптичній орбіті.

Визначення Визначимо як час, необхідний певному тілу для здійснення одного оберту. За час радіус-вектор проходить 2 радіан, або 360°. Середня швидкість обертання , звана , тоді дорівнює

має розмірність радіан за одиницю часу або градус за одиницю часу.

Визначимо як час, коли тіло знаходиться в перицентрі. З наведених вище визначень можна визначити нову величину , середню аномалію:

що дає кутову відстань від перицентра у довільний момент часу у радіанах або градусах.

Оскільки швидкість збільшення, , є сталою середньою величиною, середня аномалія рівномірно (лінійно) збільшується від 0 до 2 радіан або від 0° до 360° протягом кожного оберту. Вона дорівнює 0, коли тіло знаходиться в перицентрі, радіан (180°) в апоцентрі та 2 радіан (360°) після одного повного обертуMeeus (1991), p. 183. Якщо середня аномалія відома в будь-який момент часу, її можна обчислити в будь-який пізніший (або попередній) момент, просто додавши (або віднявши) , де являє собою невелику різницю в часі.

Середня аномалія не вимірює кут між будь-якими фізичними об'єктами (за винятком перицентру чи апоцентру, або колової орбіти). Це просто зручна міра того, наскільки далеко тіло просунулося по своїй орбіті з моменту досягнення перицентру. Середня аномалія — це один із трьох кутових параметрів (історично відомих як «аномалії»), які визначають положення вздовж орбіти, два інших — це ексцентрична аномалія та істинна аномалія.

Середня аномалія на епоху Середню аномалію на епоху, , визначають як миттєву середню аномалію на задану епоху, . Це значення іноді надають разом з іншими орбітальними елементами, щоб дозволити обчислення минулого та майбутнього положення об'єкта вздовж орбіти. Епоха, для якої визначають , часто обирають за домовленістю в певній галузі чи дисципліні. Наприклад, планетарні ефемериди часто визначають для епохи J2000, тоді як для об'єктів, що обертаються навколо Землі, описаних дворядковим набором елементів, епоху вказують як дату в першому рядку.

Формули Середню аномалію можна обчислити з ексцентричної аномалії та ексцентриситету за допомогою рівняння Кеплера:

Середню аномалію також часто виражають як

де  — середня аномалія на епоху , яка може збігатися або не збігатися з , часом проходження перицентру. Класичний метод розрахунку положення об'єкта на еліптичній орбіті за набором елементів орбіти полягає в обчисленні середньої аномалії за цим рівнянням, а потім у розв'язанні рівняння Кеплера для ексцентричної аномалії.

Визначимо як , кутову відстань перицентра від опорного напрямку. Визначимо як , кутову відстань тіла від того ж опорного напрямку, припускаючи, що воно рухається з рівномірним кутовим рухом, аналогічно середній аномалії. Таким чином, середня аномалія також дорівнюєSmart (1977), p. 122

можна виразити формулою

де  — гравітаційний параметр, який змінюється залежно від мас об'єктів, а  — велика піввісь орбіти. Середню аномалію можна записати як

і тут середня аномалія описує рівномірний кутовий рух по колу радіусом .

Середню аномалію можна розрахувати з ексцентриситету та істинної аномалії , знайшовши ексцентричну аномалію, а потім використовуючи рівняння Кеплера. У радіанах це дає: де (y, x) — це кут від осі x до променя, що веде від (0, 0) до (x, y), який має той самий знак, що й y.

Для параболічних та гіперболічних траєкторій середня аномалія не визначена, оскільки вони не мають періоду. Але в цих випадках, як і у випадку з еліптичними орбітами, площа, що охоплює хорду між центром тяжіння та об'єктом, лінійно збільшується з часом. Для гіперболічного випадку існує формула, подібна до наведеної вище, яка дає пройдений час як функцію кута (справжня аномалія в еліптичному випадку). Для параболічного випадку існує інша формула, яка є граничним випадком як еліптичного, так і гіперболічного випадку, коли відстань між фокусами прямує до нескінченності.

Середню аномалію також можна виразити як ряд:

де

Подібна формула виражає істинну аномалію безпосередньо через середню аномалію:

Загальне формулювання вищенаведеного рівняння можна записати як :

Див. також

Закони Кеплера Істинна аномалія Елементи орбіти

Примітки

Посилання

Glossary entry anomaly, mean at the US Naval Observatory's Astronomical Almanac Online